《2025年课时训练七年级数学下册苏科版江苏人民出版社》

26. (10分)借助图形直观,感受数与形之间的关系,我们常常可以发现一些重要结论.
[初步应用]
(1)①如图(1),大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和,由此得到多项式乘多项式的运算法则:$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.(用图中字母表示)
②如图(2),借助①,写出一个我们学过的公式:$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$.(用图中字母表示)
[深入探究]
(2)仿照图(2),构造图形并计算$(a + b + c)^{2}$.
[拓展延伸]
借助以上探究经验,解决下列问题:
(3)①代数式$(a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5})^{2}$展开、合并同类项后,得到的多项式的项数一共有 15项.
②若正数$x$,$y$,$z$和正数$m$,$n$,$p$,满足$x + m = y + n = z + p = t$,请通过构造图形比较$px + my + nz$与$t^{2}$的大小.(画出图形,并说明理由)
③已知$x$,$y$,$z$满足$x + y + z = 2m$,$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2n$,求$xy + yz + xz$的值.(用含$m$,$n$的式子表示)
解:(2)如图,已知大正方形的边长为$a + b + c$,
　　　　　　　a　　b　c
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　a
　　　　　　
　　　　　　b
　　　　　　c
　　　　　　　(第26题(1))
由图可得$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ac$.
(3)②如图(2),由图形得$px + my + nz ＜ t^{2}$.
③$\because x + y + z = 2m$,
$\therefore x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xz + 2xy + 2yz = 4m^{2}$.
$\because x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2n$,
$\therefore 2xz + 2xy + 2yz = 4m^{2} - 2n$,
$\therefore xz + xy + yz = 2m^{2} - n$.

答案：

(1)①$(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd$
②$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
(2)如图，已知大正方形的边长为 $a + b + c$，

由图可得 $(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac$.
(3)①15
②如图
(2)，由图形得 $px + my + nz＜t^{2}$.

③$\because x + y + z = 2m$，
$\therefore x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xz + 2xy + 2yz = 4m^{2}$.
$\because x^{2}+y^{2}+z^{2}=2n$，
$\therefore2xz + 2xy + 2yz = 4m^{2}-2n$，
$\therefore xz + xy + yz = 2m^{2}-n$.
归纳总结 本题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合的思想是解本题的关键.