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21. （4分）小鑫、小童两人同时解方程组$\begin{cases}\frac{1}{2}ax - by = 1,① \\ ax - y = 17,②\end{cases}$时，小鑫看错了方程②中的$a$，解得$\begin{cases}x = 4 \\ y = 1\end{cases}$，小童看错了①中的$b$，解得$\begin{cases}x = 5 \\ y = -7\end{cases}$.
（1）求正确的$a$，$b$的值；
（2）求原方程组的正确解.
解：（1）$\begin{cases}a = 2 \\ b = 3\end{cases}$ （2）$\begin{cases}x = 10 \\ y = 3\end{cases}$
（1）求正确的$a$，$b$的值；
（2）求原方程组的正确解.
解：（1）$\begin{cases}a = 2 \\ b = 3\end{cases}$ （2）$\begin{cases}x = 10 \\ y = 3\end{cases}$
答案：
（1）$\begin{cases}a = 2 \\ b = 3\end{cases}$ （2）$\begin{cases}x = 10 \\ y = 3\end{cases}$
22. （4分）下面是小华同学解方程组$\begin{cases}3x + 2y = 1,① \\ 4x - y = -6②\end{cases}$的过程，请你观察计算过程，回答下面问题.
解：②×2，得$8x - 2y = -6③\cdots(1)$
① + ③，得$11x = -5\cdots(2)$
$\therefore x = -\frac{5}{11}\cdots(3)$
（$a$）第（1）步（填序号）出错；
（$b$）请你写出正确的解题过程.
解：$\begin{cases}3x + 2y = 1① \\ 4x - y = -6②\end{cases}$，②×2，得$8x - 2y = -12③$，
① + ③，得$11x = -11$，$\therefore x = -1$，
把$x = -1$代入②，得$y = 2$，$\therefore$方程组的解是$\begin{cases}x = -1 \\ y = 2\end{cases}$.
解：②×2，得$8x - 2y = -6③\cdots(1)$
① + ③，得$11x = -5\cdots(2)$
$\therefore x = -\frac{5}{11}\cdots(3)$
（$a$）第（1）步（填序号）出错；
（$b$）请你写出正确的解题过程.
解：$\begin{cases}3x + 2y = 1① \\ 4x - y = -6②\end{cases}$，②×2，得$8x - 2y = -12③$，
① + ③，得$11x = -11$，$\therefore x = -1$，
把$x = -1$代入②，得$y = 2$，$\therefore$方程组的解是$\begin{cases}x = -1 \\ y = 2\end{cases}$.
答案：
（$a$）
(1)
（$b$）$\begin{cases}3x + 2y = 1①,\\4x - y = -6②,\end{cases}$
②×2，得$8x - 2y = -12③$，
①+③，得$11x = -11$，$\therefore x = -1$，
把$x = -1$代入②，得$y = 2$，
$\therefore$方程组的解是$\begin{cases}x = -1,\\y = 2.\end{cases}$
(1)
（$b$）$\begin{cases}3x + 2y = 1①,\\4x - y = -6②,\end{cases}$
②×2，得$8x - 2y = -12③$，
①+③，得$11x = -11$，$\therefore x = -1$，
把$x = -1$代入②，得$y = 2$，
$\therefore$方程组的解是$\begin{cases}x = -1,\\y = 2.\end{cases}$
23. （6分）我们规定，关于$x$，$y$的二元一次方程$ax + by = c$，若满足$a + b = c$，则称这个方程为“幸福”方程. 例如：方程$2x + 3y = 5$，其中$a = 2$，$b = 3$，$c = 5$，满足$a + b = c$，则方程$2x + 3y = 5$是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断方程$3x + 5y = 8$ “幸福”方程（填“是”或“不是”）；
（2）若关于$x$，$y$的二元一次方程$kx + (k - 1)y = 9$是“幸福”方程，求$k$的值；
（3）若$\begin{cases}x = p \\ y = q\end{cases}$是关于$x$，$y$的“幸福”方程组$\begin{cases}mx + (m + 1)y = n - 1 \\ mx + 2my = n\end{cases}$的解，求$4p + 7q$的值.
解：（2）$\because$二元一次方程$kx + (k - 1)y = 9$是“幸福”方程，
$\therefore k + k - 1 = 9$，解得$k = 5$.
（3）$4p + 7q = 11$.
（1）判断方程$3x + 5y = 8$ “幸福”方程（填“是”或“不是”）；
（2）若关于$x$，$y$的二元一次方程$kx + (k - 1)y = 9$是“幸福”方程，求$k$的值；
（3）若$\begin{cases}x = p \\ y = q\end{cases}$是关于$x$，$y$的“幸福”方程组$\begin{cases}mx + (m + 1)y = n - 1 \\ mx + 2my = n\end{cases}$的解，求$4p + 7q$的值.
解：（2）$\because$二元一次方程$kx + (k - 1)y = 9$是“幸福”方程，
$\therefore k + k - 1 = 9$，解得$k = 5$.
（3）$4p + 7q = 11$.
答案：
（1）是
（2）$\because$二元一次方程$kx+(k - 1)y = 9$是“幸福”方程，$\therefore k + k - 1 = 9$，解得$k = 5$.
（3）$\because\begin{cases}mx+(m + 1)y = n - 1,\\mx + 2my = n\end{cases}$是“幸福”方程组，
$\therefore\begin{cases}m + m + 1 = n - 1,\\m + 2m = n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 2,\\n = 6,\end{cases}$$\therefore$原方程组为$\begin{cases}2x + 3y = 5,\\2x + 4y = 6.\end{cases}$$\because\begin{cases}x = p,\\y = q\end{cases}$是关于$x,y$的“幸福”方程组的解，$\therefore\begin{cases}2p + 3q = 5,①\\2p + 4q = 6,②\end{cases}$由①+②，得$4p + 7q = 11$.
（2）$\because$二元一次方程$kx+(k - 1)y = 9$是“幸福”方程，$\therefore k + k - 1 = 9$，解得$k = 5$.
（3）$\because\begin{cases}mx+(m + 1)y = n - 1,\\mx + 2my = n\end{cases}$是“幸福”方程组，
$\therefore\begin{cases}m + m + 1 = n - 1,\\m + 2m = n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 2,\\n = 6,\end{cases}$$\therefore$原方程组为$\begin{cases}2x + 3y = 5,\\2x + 4y = 6.\end{cases}$$\because\begin{cases}x = p,\\y = q\end{cases}$是关于$x,y$的“幸福”方程组的解，$\therefore\begin{cases}2p + 3q = 5,①\\2p + 4q = 6,②\end{cases}$由①+②，得$4p + 7q = 11$.
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