《2025年新课标同步单元练习七年级数学下册北师大版深圳专版》

2.(1)如图 4-4-14①，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$，$E$，$F$ 分别是边 $BC$，$CD$ 上的点，且 $\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$. 请直接写出线段 $EF$，$BE$，$FD$ 之间的数量关系：__________．
(2)如图 4-4-14②，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$，$E$，$F$ 分别是边 $BC$，$CD$ 上的点，且 $\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$，(1)中的结论是否仍然成立? 请写出解题过程．
(3)在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$，$E$，$F$ 分别是边 $BC$，$CD$ 所在直线上的点，且 $\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$. 请直接写出线段 $EF$，$BE$，$FD$ 之间的数量关系：__________．

答案： 解：（1）EF = BE + FD 解析：如答图4 - 4 - 2①，延长EB到点G，使BG = DF，连接AG. 在△ABG和△ADF中， {AB = AD， ∠ABG = ∠ADF， BG = DF， 所以△ABG≌△ADF（SAS）. 所以AG = AF，∠1 = ∠2， 所以∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3. 又∠EAF = 1/2∠BAD， 所以∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = 1/2∠BAD. 所以∠GAE = ∠EAF. 又AE = AE， 易证△AEG≌△AEF. 所以EG = EF. 因为EG = BE + BG， 所以EF = BE + FD. （2）（1）中的结论仍然成立. 如答图4 - 4 - 2②，延长EB到点G，使BG = DF，连接AG. 因为∠ABC + ∠ADF = 180°，∠ABG + ∠ABC = 180°， 所以∠ABG = ∠ADF. 在△ABG和△ADF中， {AB = AD， ∠ABG = ∠ADF， BG = DF， 所以△ABG≌△ADF（SAS）. 所以AG = AF，∠1 = ∠2， 所以∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3. 又∠EAF = 1/2∠BAD， 所以∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = 1/2∠BAD. 所以∠GAE = ∠EAF. 又AE = AE， 所以△AEG≌△AEF. 所以EG = EF. 因为EG = BE + BG， 所以EF = BE + FD. （3）EF = BE + FD或EF = BE - FD或EF = FD - BE

3.(1)如图 4-4-15①，已知在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，直线 $m$ 经过点 $A$，$BD\perp$ 直线 $m$ 于点 $D$，$CE\perp$ 直线 $m$ 于点 $E$，猜想 $DE$，$BD$，$CE$ 之间的数量关系为__________．
(2)如图 4-4-15②，将(1)中的条件改为在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$，$A$，$E$ 三点都在直线 $m$ 上，并且 $\angle BDA=\angle AEC=\angle BAC=\alpha$，$\alpha$ 为任意锐角或钝角，请问(1)中的结论是否仍然成立? 若成立，请写出解题过程；若不成立，请说明理由．
(3)如图 4-4-15③，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC$ 是钝角，$AB = AC$，$\angle BAD＞\angle CAE$，$\angle BDA=\angle AEC=\angle BAC$，直线 $m$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $F$，若 $BC = 2CF$，$\triangle ABC$ 的面积是 12，求 $\triangle ABD$ 与 $\triangle CEF$ 的面积之和．

答案：
解：（1）DE = BD + CE 解析：因为BD⊥直线m，CE⊥直线m， 所以∠BDA = ∠CEA = 90°. 所以∠BAD + ∠ABD = 90°. 因为∠BAC = 90°， 所以∠BAD + ∠CAE = 90°. 所以∠CAE = ∠ABD. 在△ADB和△CEA中，

所以△ADB≌△CEA（AAS）， 所以BD = AE，AD = CE， 所以DE = AE + AD = BD + CE. 故答案为DE = BD + CE.
（2）（1）中的结论仍然成立. 因为∠BDA = ∠BAC = α， 所以∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE = 180° - α， 所以∠CAE = ∠ABD. 在△ADB和△CEA中，

所以△ADB≌△CEA（AAS）， 所以BD = AE，AD = CE， 所以DE = AE + AD = BD + CE.
（3）因为∠BAD＞∠CAE，∠BDA = ∠AEC = ∠BAC，所以∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE， 所以∠CAE = ∠ABD. 在△ABD和△CAE中，

所以△ABD≌△CAE（AAS）. 所以S△ABD = S△CAE. 设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高也为h， 所以S△ABC = 1/2BC·h = 12，S△ACF = 1/2CF·h. 因为BC = 2CF， 所以S△ACF = 6. 因为S△ACF = S△CEF + S△CEA = S△CEF + S△ABD = 6， 所以△ABD与△CEF的面积之和为6.