《2025年新课标同步单元练习七年级数学下册北师大版深圳专版》

1. 在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
(1)如图5-2-27①，若∠ABC = 60°，∠ACB = 40°，求∠BDC的度数；
(2)如图5-2-27②，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，DE = 2，AC = 4，求△ADC的面积．

答案：
解：（1）因为BD平分∠ABC， 所以∠DBC = 1/2∠ABC = 1/2×60° = 30°. 因为CD平分∠ACB， 所以∠DCB = 1/2∠ACB = 1/2×40° = 20°， 所以∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠DCB = 180° - 30° - 20° = 130°.
（2）过点D作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如答图5 - 2 - 8，

因为BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC， 所以DH = DE = 2. 因为CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC， 所以DF = DH = 2， 所以△ADC的面积 = 1/2DF·AC = 1/2×2×4 = 4.

2. 如图5-2-28①，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE = DF．
探究发现：如图5-2-28②，在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E，F分别在AB和AC上”．若∠AED + ∠AFD = 180°，则DE与DF是否仍相等？若相等，请说明理由；若不相等，请举反例说明．

答案：
解：DE = DF. 理由如下： 如答图5 - 2 - 9，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

因为AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， 所以DM = DN. 因为∠AED + ∠AFD = 180°，∠AFD + ∠DFN = 180°， 所以∠DFN = ∠AED. 在△DME与△DNF中，

所以△DME≌△DNF（AAS）. 所以DE = DF.

3. 角平分线上的点到角两边的距离相等．这一性质在解决图形面积问题时有何妙用呢？阅读材料：如图5-2-29①，在面积为S的△ABC中，BC = a，AC = b，AB = c，三条角平分线的交点O到三边的距离为r．连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．
因为$S = S_{△OBC}+ S_{△OAC}+ S_{△OAB}$=$\frac{1}{2}$BC·r + $\frac{1}{2}$AC·r + $\frac{1}{2}$AB·r = $\frac{1}{2}$(a + b + c)·r，所以r = $\frac{2S}{a + b + c}$．
(1)类比推理：若面积为S的四边形ABCD的四条角平分线交于O点，如图5-2-29②，各边长分别为AB = a，BC = b，CD = c，AD = d，求点O到四边的距离r(用含S，a，b，c，d的代数式表示)；
(2)理解应用：如图5-2-29③，在四边形ABCD中，AB//DC，AB = 21，CD = 11，AD = BC = 13，对角线BD = 20，点$O_{1}$与$O_{2}$分别为△ABD与△BCD的三条角平分线的交点，设它们到各自三角形三边的距离为$r_{1}$和$r_{2}$，求$\frac{r_{1}}{r_{2}}$的值．

答案： 解：（1）连接OA，OB，OC，OD（画图略）， 因为$S = S_{△AOB} + S_{△BOC} + S_{△COD} + S_{△AOD} = 1/2ar + 1/2br + 1/2cr + 1/2dr = 1/2(a + b + c + d)r， 所以r = 2S/(a + b + c + d). （2）因为AB//CD， 所以$$S_{△ABD} : S_{△BCD}$ = $AB : CD$ = $21 : 11$$. 因为$$r_{1}$ = $2S_{△ABD}/(AB + BD + AD)$ = $2S_{△ABD}/54$ = $S_{△ABD}/27$$， $$r_{2}$ = $2S_{△CDB}/(CD + CB + DB)$ = $2S_{△CDB}/44$ = $S_{△CDB}/22$$， 所以$$r_{1}/r_{2}$ = $S_{△ABD}/27 : S_{△BCD}/22$ = $S_{△ABD}/27×22/S_{△BCD}$ = $21×22/(27×11)$ = $14/9$.