《2025年新课标同步单元练习七年级数学下册北师大版深圳专版》

3. 计算：
(1)$(a^{2n}+b)(a^{2n}-b)$； (2)$(3 + b)(3 - b)+b(b + 1)$.

答案： $a^{4n}-b^{2}$@@$9 + b$

4. 如果$(3m + n + 3)(3m + n - 3)=40$，那么$3m + n$的值为________.

答案： $\pm7$

5. 某社区组织老年人参加太极拳比赛，由于比赛场地的原因，要把n行n列$(n＞3)$的方队增加3行，减少3列，实际参加比赛的比原来__________人.

答案： 少9

6. 王大伯家把一块边长为a m的正方形土地租给了邻居李大妈. 今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4 m，相邻的一边增加4 m，改变为长方形土地，继续原价租给你，你看如何?”李大妈一听，就答应了. 你认为李大妈吃亏了吗? 为什么?

答案： 李大妈吃亏了. 理由如下：原正方形土地的面积为$a^{2}\ m^{2}$， 改变边长后长方形土地的面积为$(a + 4)(a - 4)=a^{2}-16(m^{2})$. 因为$a^{2}＞a^{2}-16$， 所以李大妈吃亏了.

7. 某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台. 已知广场中心有一座边长为b的正方形花坛. 学生会提出两个方案：方案一，如图1-3-4①，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为$S_{1}$；方案二，如图1-3-4②，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为$S_{2}$，具体数据如图1-3-4①②所示，则$S_{1}$__________$S_{2}$.（填“＞”“＜”或“=”）

答案： $＞$

1. 若$x^{2}-y^{2}=-1$，则$(x - y)^{2019}(x + y)^{2019}=$__________.

答案： -1

2. 公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两位青年，他们在交谈. 老人说：“我俩年龄的平方差是195……”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我俩年龄的平方差也是195.”这时，一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我俩年龄的平方差也是195.”现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少岁? 如果你有兴趣，不妨把第四对年龄的平方差为195的儿童的年龄也找出来.

答案： 设两位老人的年龄分别是$x$岁、$y$岁$(x＞y)$， 则$x^{2}-y^{2}=195$， 即$(x + y)(x - y)=195$. 把195分解因数可得$1×195 = 195$， 那么$x + y = 195$①，$x - y = 1$②，由①得$x = 195 - y$③，将③代入②得$195 - y - y = 1$，得$y = 97$，将$y = 97$代入③得$x = 98$. 所以$x = 98$，$y = 97$， 所以两位老人的年龄分别是98岁、97岁. 因为$5×39 = 195$，设两位青年的年龄分别为$x_{1}$岁、$y_{1}$岁$(x_{1}＞y_{1})$， 所以$x_{1}+y_{1}=39$①，$x_{1}-y_{1}=5$②，由①得$x_{1}=39 - y_{1}$③，将③代入②得$39 - y_{1}-y_{1}=5$，得$y_{1}=17$，将$y_{1}=17$代入③得$x_{1}=22$. 所以$x_{1}=22$，$y_{1}=17$， 所以两位青年的年龄分别是22岁、17岁. 因为$65×3 = 195$，设中年夫妇的年龄分别为$x_{2}$岁、$y_{2}$岁$(x_{2}＞y_{2})$， 所以$x_{2}+y_{2}=65$①，$x_{2}-y_{2}=3$②，由①得$x_{2}=65 - y_{2}$③，将③代入②得$65 - y_{2}-y_{2}=3$，得$y_{2}=31$，将$y_{2}=31$代入③得$x_{2}=34$. 所以$x_{2}=34$，$y_{2}=31$， 所以中年夫妇的年龄分别是34岁、31岁. 因为$15×13 = 195$，设第四对年龄的平方差为195的儿童的年龄分别为$x_{3}$岁、$y_{3}$岁$(x_{3}＞y_{3})$， 所以$x_{3}+y_{3}=15$①，$x_{3}-y_{3}=13$②，由①得$x_{3}=15 - y_{3}$③，将③代入②得$15 - y_{3}-y_{3}=13$，得$y_{3}=1$，将$y_{3}=1$代入③得$x_{3}=14$. 所以$x_{3}=14$，$y_{3}=1$， 所以第四对年龄的平方差为195的儿童的年龄分别是14岁、1岁.