《2025年新课标同步单元练习七年级数学下册北师大版深圳专版》

6. 如图2-3-17，已知AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB//CD. 请说明：∠1 + ∠2 = 90°．

答案： 解：因为AB//CD（已知）， 所以∠BAC + ∠ACD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）. 又因为AE平分∠BAC，CE平分∠ACD（已知）， 所以∠1 = 1/2∠BAC，∠2 = 1/2∠ACD（角平分线的定义）， 所以∠1 + ∠2 = 1/2（∠BAC + ∠ACD） = 1/2×180° = 90°， 即∠1 + ∠2 = 90°.

1. 已知∠AOB = 40°，OC平分∠AOB，点D、点E分别在射线OA，OC上，连接DE，点P是射线OB上的一个动点，连接DP，交射线OC于点F，设∠ODP = x°．
(1)如图2-3-18①，若DE//OB. ①∠DEO的度数是__________°；当DP⊥OE时，x = __________．②若∠EDF = ∠EFD，求x的值．
(2)如图2-3-18②，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD = 4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

答案：
解：（1）①20 70 ②因为易得∠DEO = 20°，又∠EDF = ∠EFD， 所以∠EDF = 1/2（180° - ∠DEO） = 80°. 又因为DE//OB，所以∠ADE = ∠AOB = 40°，所以∠ODE = 140°， 所以∠ODP = 140° - 80° = 60°. 所以x = 60.
（2）存在这样的x的值，使得∠EFD = 4∠EDF. 分两种情况：①如答图2 - 3 - 1①，若DP在DE左侧， 因为DE⊥OA，所以∠EDF = 90° - x°. 因为∠AOC = 1/2∠AOB = 20°，所以∠EFD = 180° - （180° - 20° - x°） = 20° + x°. 当∠EFD = 4∠EDF时，20° + x° = 4（90° - x°）， 解得x = 68. ②如答图2 - 3 - 1②，若DP在DE右侧， 因为∠EDF = x° - 90°，∠EFD = 180° - 20° - x° = 160° - x°， 所以当∠EFD = 4∠EDF时，160° - x° = 4（x° - 90°）. 解得x = 104. 综上所述，当x = 68或x = 104时，∠EFD = 4∠EDF.

2. 如图2-3-19，将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A = 30°，∠B = 60°，∠D = ∠E = 45°．
【观察猜想】(1)∠BCD与∠ACE的数量关系是__________；∠BCE与∠ACD的数量关系是__________．
【类比探究】(2)若保持三角尺ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角尺DCE，试探究当∠ACD等于多少度时，CE//AB，画出图形并简要说明理由．
(3)若∠BCE = 3∠ACD，求∠ACD的度数，并直接写出此时DE与AC的位置关系．

答案：
解：（1）∠BCD = ∠ACE ∠BCE + ∠ACD = 180° 解析：因为∠BCD + ∠ACD = 90°，∠ACE + ∠ACD = 90°， 所以∠BCD = ∠ACE. 因为∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 90° + ∠ACE， 所以∠BCE + ∠ACD = 90° + ∠ACE + ∠ACD = 90° + 90° = 180°. 故答案为∠BCD = ∠ACE，∠BCE + ∠ACD = 180°.
（2）分两种情况：
①如答图2 - 3 - 2①所示，当CE//AB时，∠ACE = ∠A = 30°， 所以∠ACD = ∠DCE - ∠ACE = 90° - 30° = 60°.
②如答图2 - 3 - 2②所示，当CE//AB时，∠BCE = ∠B = 60°， 所以∠ACD = 360° - ∠ACB - ∠BCE - ∠DCE = 360° - 90° - 60° - 90° = 120°. 综上所述，当∠ACD等于60°或120°时，CE//AB.

（3）设∠ACD = α，则∠BCE = 3α. 由（1）可知，∠BCE + ∠ACD = 180°， 所以3α + α = 180°， 所以α = 45°，即∠ACD = 45°. 此时DE⊥AC或DE//AC.