《2025年新课标同步单元练习七年级数学下册北师大版深圳专版》

1. 已知$5^{a}=4$，$5^{b}=25$，$5^{c}=10$，猜想$a$，$b$，$c$之间满足的等量关系，并说明你的理由．

答案： 解：猜想：$a + b = 2c$。 理由：因为$5^{a + b}=5^{a}\cdot5^{b}=4×25 = 100$，$5^{2c}=(5^{c})^{2}=10^{2}=100$，所以$a + b = 2c$。

2. 问题：你能比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小吗?
为了解决这个问题，我们写出它的一般形式，即比较$n^{n + 1}$与$(n + 1)^{n}$的大小($n$为正整数)，从分析$n = 1$，$2$，$3$，$\cdots$的情形入手，通过归纳发现规律，猜想出结论．
(1)比较各组数的大小：①$1^{2}$______$2^{1}$；②$2^{3}$______$3^{2}$；③$3^{4}$______$4^{3}$；④$4^{5}$______$5^{4}$．
(2)由(1)猜想出$n^{n + 1}$与$(n + 1)^{n}$的大小关系是______________________________．
(3)由(2)可知：$2024^{2025}$______$2025^{2024}$．

答案： ＜@@＜@@＞@@＞@@当$n = 1$或$n = 2$时，$n^{n + 1}＜(n + 1)^{n}$；当$n＞2$时，$n^{n + 1}＞(n + 1)^{n}$@@＞

3. 规定两数$a$，$b$之间的一种运算，记作$(a,b)$，如果$a^{c}=b$，那么$(a,b)=c$．例如，因为$2^{3}=8$，所以$(2,8)=3$．
(1)根据上述规定填空：$(5,125)=$__________，$(-2,-32)=$__________；
(2)若$(4,5)=a$，$(4,6)=b$，$(4,30)=c$，试说明等式$a + b = c$成立的理由．

答案： 3@@5@@因为$(4,5)=a$，$(4,6)=b$，$(4,30)=c$， 所以$4^{a}=5$，$4^{b}=6$，$4^{c}=30$，所以$4^{a}\cdot4^{b}=4^{c}$，所以$a + b = c$。

1. 下列计算正确的是( ).
A. $(2b)^{3}\cdot b^{3}=2b^{6}$
B. $(ab^{2})^{3}=a^{3}b^{6}$
C. $(a^{3})^{2}\cdot a^{4}=a^{9}$
D. $(-2a)^{2}=-4a^{2}$

答案： B

2. 若$(a^{m}b^{n})^{3}=a^{9}b^{15}$，则$m$，$n$的值分别为( ).
A. $9$，$5$
B. $3$，$5$
C. $5$，$3$
D. $6$，$12$

答案： B

3. 计算：
- (1)$(2a)^{3}=$__________；
- (2)$(-2a)^{3}=$__________；
- (3)$(a^{2}b)^{3}=$__________；
- (4)$(a^{3}b^{n})^{2}=$__________.

答案： $8a^{3}$@@$-8a^{3}$@@$a^{6}b^{3}$@@$a^{6}b^{2n}$