《2025年新课标同步单元练习七年级数学下册北师大版深圳专版》

1. 请阅读以下材料并解决相关问题：已知$\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot\cdots\cdot a}_{n个a}=a^{n}$，$\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot\cdots\cdot a}_{n个a}\cdot\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot\cdots\cdot a}_{m个a}=a^{n}\cdot a^{m}=a^{m + n}$，例如，$a^{2}\times a^{3}=a^{5}$，$6^{2}\times6 = 6^{3}$.
(1)①$m\times m^{7}=$__________，②__________$\times5^{2}=5^{10}$；
(2)$-\frac{1}{3}\times(-\frac{1}{3})^{2}\times(-\frac{1}{3})^{3}=$__________；
(3)若$a^{x}=6$，$a^{x + y}=36$，求$a^{x}+a^{y}$的值.

答案： m⁸@@5⁸@@1/729@@解：因为 aˣ = 6，aˣ⁺ʸ = 36， 所以 aˣ·aʸ = 36，所以 6aʸ = 36， 所以 aʸ = 6，所以 aˣ + aʸ = 6 + 6 = 12.

2. 基本事实：若$a^{m}=a^{n}(a\gt0$且$a\neq1$，$m$，$n$是正整数)，则$m = n$. 试利用上述基本事实求下列等式中$x$的值：$2^{x + 2}+2^{x + 1}=24$.

答案： 解：原等式可化为 2×2ˣ⁺¹ + 2ˣ⁺¹ = 24， 所以 2ˣ⁺¹(2 + 1) = 24， 所以 2ˣ⁺¹ = 8 = 2³， 所以 x + 1 = 3， 解得 x = 2.

3. 阅读材料：
求$3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}$的值.
解：设$S = 3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}$①，
则$3S = 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}+3^{7}$②.
② - ①得，$3S - S=(3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}+3^{7})-(3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6})=3^{7}-3$，
所以$2S = 3^{7}-3$，即$S=\frac{3^{7}-3}{2}$，所以$3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}=\frac{3^{7}-3}{2}$.
这种方法我们称为“错位相减法”.
请根据上面的材料解决“棋盘放米”的数学问题：
阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏. 阿基米德对国王说：“我只要在棋盘(64格棋盘)上第一格中放一粒米，第二格中放两粒米，第三格中放四粒米，第四格中放八粒米……按这个方法放满整张棋盘就行.”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了.
(1)在第64格中应放__________粒米.(用幂表示)
(2)设国王输给阿基米德的总米粒数为$M$，求$M$的值.

答案： 2⁶³@@解：由题意得， M = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³， 2M = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁴， 所以 2M - M = 2⁶⁴ - 1， 即 M = 2⁶⁴ - 1.