《2025年新课标同步单元练习七年级数学下册北师大版深圳专版》

3. 如图1-3所示，现有边长分别为$a$，$b$的正方形和长为$b$，宽为$a$的长方形硬纸板若干张．
(1)请选择适当形状和数量的硬纸板，拼出面积为$2b^{2}+3ab + a^{2}$的长方形，并画出拼法的示意图；
(2)从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为$8ab$的不同形状的长方形，则这些长方形的周长共有__________种不同情况；
(3)现有①类硬纸板1张，②类硬纸板4张，则应取__________张③类硬纸板才能用它们拼成一个新的正方形；
(4)已知长方形②的周长为20，面积为12，求小正方形①与大正方形③的面积之和．

答案：
解：
(1)如答图 1 - 1 所示(拼法不唯一)，面积为 2b² + 3ab + a² = (a + b)(a + 2b). 

(2)4 解析：因为 8ab 可以分解为 a，8b；8a，b；2a，4b；4a，2b， 所以这些长方形的周长共有 4 种不同情况. 故答案为 4.
(3)4 解析：设需要取 x 张③类硬纸板才能用它们拼成一个新的正方形， 则新正方形的面积为 a² + 4ab + xb²，且它是一个完全平方式， 所以 x = 4. 故答案为 4.
(4)由已知得 2(a + b) = 20，ab = 12，所以 a + b = 10. 所以 a² + b² = (a + b)² - 2ab = 100 - 24 = 76.