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1. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图像是一条
(1)当 $ a ＞ 0 $ 时，图像开口向
(2)当 $ a ＜ 0 $ 时，图像开口向
抛物线
，并且关于直线 $ x = -\frac{b}{2a} $
对称，顶点的坐标是$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$
.(1)当 $ a ＞ 0 $ 时，图像开口向
上
，顶点是图像的最低
点. 当 $ x ＜ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
；当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
；当 $ x = -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 的值最小
，最小
值是$ \frac{4ac - b^{2}}{4a} $
.(2)当 $ a ＜ 0 $ 时，图像开口向
下
，顶点是图像的最高
点. 当 $ x ＜ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
；当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
；当 $ x = -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 的值最大
，最大
值是$ \frac{4ac - b^{2}}{4a} $
.
答案：
1. 抛物线 直线 $ x = -\frac{b}{2a} $ $ (-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a}) $
(1) 上 低 减小 增大 小 小 $ \frac{4ac - b^{2}}{4a} $
(2) 下 高 增大 减小 大 大 $ \frac{4ac - b^{2}}{4a} $
(1) 上 低 减小 增大 小 小 $ \frac{4ac - b^{2}}{4a} $
(2) 下 高 增大 减小 大 大 $ \frac{4ac - b^{2}}{4a} $
2. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 可利用配方法转化为 $ y = a(x + h)^{2}+k $ 的形式，即 $ y = ax^{2}+bx + c = a(x + \_\_\_\_\_\_)^{2}+$
$ \frac{4ac - b^{2}}{4a} $
.
答案：
2. $ \frac{b}{2a} $ $ \frac{4ac - b^{2}}{4a} $
1. (2024·涟水县模拟)二次函数 $ y = x^{2}+2x $ 图像的对称轴是(
A.直线 $ x = 1 $
B.直线 $ x = -1 $
C.直线 $ x = -2 $
D.直线 $ x = 2 $
B
)A.直线 $ x = 1 $
B.直线 $ x = -1 $
C.直线 $ x = -2 $
D.直线 $ x = 2 $
答案：
1. B
2. 对二次函数 $ y = x^{2}+2x + 3 $ 的性质的描述正确的是(
A.函数图像的对称轴在 $ y $ 轴左侧
B.当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.函数图像开口向下
D.函数图像与 $ y $ 轴的交点位于 $ y $ 轴负半轴
A
)A.函数图像的对称轴在 $ y $ 轴左侧
B.当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.函数图像开口向下
D.函数图像与 $ y $ 轴的交点位于 $ y $ 轴负半轴
答案：
2. A
3. 下列二次函数的图像的顶点在 $ x $ 轴上的是(
A.$ y = x^{2}+1 $
B.$ y = x^{2}+2x $
C.$ y = -x^{2}+2x + 1 $
D.$ y = -x^{2}+2x - 1 $
D
)A.$ y = x^{2}+1 $
B.$ y = x^{2}+2x $
C.$ y = -x^{2}+2x + 1 $
D.$ y = -x^{2}+2x - 1 $
答案：
3. D
4. (2024·高新区期中)已知二次函数 $ y = -x^{2}-2x + 3 $，当 $ x $
$ ＜ -1 $
时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
答案：
4. $ ＜ -1 $
5. (2024·湖州期中)已知抛物线的顶点坐标是 $ (2,1) $，且抛物线经过点 $ (3,0) $，则这条抛物线的函数表达式是
$ y = -(x - 2)^{2} + 1 $
.
答案：
5. $ y = -(x - 2)^{2} + 1 $
6. 求下列二次函数图像的顶点坐标和对称轴.
(1)$ y = 2 - 2x^{2} $；
(2)$ y = x(5 - x) $；
(3)$ y = 1 + 2x - x^{2} $.
(1)$ y = 2 - 2x^{2} $；
(2)$ y = x(5 - x) $；
(3)$ y = 1 + 2x - x^{2} $.
答案：
6. 解：
(1) 二次函数 $ y = 2 - 2x^{2} $ 的图像的顶点坐标为 $ (0, 2) $，对称轴为直线 $ x = 0 $。
(2) 二次函数 $ y = x(5 - x) $，即 $ y = -(x - 2.5)^{2} + 6.25 $ 的图像的顶点坐标为 $ (2.5, 6.25) $，对称轴为直线 $ x = 2.5 $。
(3) 二次函数 $ y = 1 + 2x - x^{2} $，即 $ y = -(x - 1)^{2} + 2 $ 的图像的顶点坐标为 $ (1, 2) $，对称轴为直线 $ x = 1 $。
(1) 二次函数 $ y = 2 - 2x^{2} $ 的图像的顶点坐标为 $ (0, 2) $，对称轴为直线 $ x = 0 $。
(2) 二次函数 $ y = x(5 - x) $，即 $ y = -(x - 2.5)^{2} + 6.25 $ 的图像的顶点坐标为 $ (2.5, 6.25) $，对称轴为直线 $ x = 2.5 $。
(3) 二次函数 $ y = 1 + 2x - x^{2} $，即 $ y = -(x - 1)^{2} + 2 $ 的图像的顶点坐标为 $ (1, 2) $，对称轴为直线 $ x = 1 $。
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