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二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图像是一条
(1) 当 $ a ＞ 0 $ 时，图像开口向
(2) 当 $ a ＜ 0 $ 时，图像开口向
抛物线
，顶点坐标是(0,0)
。(1) 当 $ a ＞ 0 $ 时，图像开口向
上
，顶点是图像的最低
点。当 $ x ＜ 0 $ 时， $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
；当 $ x ＞ 0 $ 时， $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
；当 $ x = 0 $ 时， $ y $ 的值最小
，最小
值是0
。(2) 当 $ a ＜ 0 $ 时，图像开口向
下
，顶点是图像的最高
点。当 $ x ＜ 0 $ 时， $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
；当 $ x ＞ 0 $ 时， $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
；当 $ x = 0 $ 时， $ y $ 的值最大
，最大
值是0
。
答案：
抛物线 (0,0)
(1)上 低 减小 增大 小 小 0
(2)下 高 增大 减小 大 大 0
(1)上 低 减小 增大 小 小 0
(2)下 高 增大 减小 大 大 0
1. 已知点 $ (-1,y_{1}),(-3,y_{2}) $ 都在函数 $ y = x^{2} $ 的图像上，则(
A.$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ 0 $
B.$ y_{2} ＜ y_{1} ＜ 0 $
C.$ 0 ＜ y_{2} ＜ y_{1} $
D.$ 0 ＜ y_{1} ＜ y_{2} $
D
)A.$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ 0 $
B.$ y_{2} ＜ y_{1} ＜ 0 $
C.$ 0 ＜ y_{2} ＜ y_{1} $
D.$ 0 ＜ y_{1} ＜ y_{2} $
答案：
1. D
2. 抛物线 $ y = 2x^{2} $ 的顶点坐标为
(0,0)
。
答案：
2. (0,0)
3. 二次函数 $ y = (k + 2)x^{2} $ 的图像如图所示，则 $ k $ 的取值范围是
$ k ＞ - 2 $
。
答案：
3. $ k ＞ - 2 $
4. (2024·通州区月考)已知二次函数 $ y = ax^{2} $，当 $ x ＞ 0 $ 时， $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则 $ a $ 的取值范围是
$ a ＜ 0 $
。
答案：
4. $ a ＜ 0 $
5. 求符合下列条件的抛物线 $ y = ax^{2} $ 的函数表达式。
(1) 抛物线 $ y = ax^{2} $ 经过点 $ (1,2) $；
(2) 抛物线 $ y = ax^{2} $ 与 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 的开口大小相同，开口方向相反；
(3) 抛物线 $ y = ax^{2} $ 与直线 $ y = \frac{1}{2}x + 3 $ 交于点 $ (2,m) $。
(1) 抛物线 $ y = ax^{2} $ 经过点 $ (1,2) $；
(2) 抛物线 $ y = ax^{2} $ 与 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 的开口大小相同，开口方向相反；
(3) 抛物线 $ y = ax^{2} $ 与直线 $ y = \frac{1}{2}x + 3 $ 交于点 $ (2,m) $。
答案：
5. 解：
(1)把(1,2)代入 $ y = a x ^ { 2 } $，得 $ a = 2 $，$ \therefore y = 2 x ^ { 2 } $。
(2)$ \because $抛物线 $ y = a x ^ { 2 } $与 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $的开口大小相同、方向相反，$ \therefore a = - \frac { 1 } { 2 } $，即 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $。
(3)$ \because $直线 $ y = \frac { 1 } { 2 } x + 3 $经过点(2,m)，
$ \therefore m = \frac { 1 } { 2 } × 2 + 3 = 4 $，$ \therefore $交点坐标为(2,4)。
把(2,4)代入 $ y = a x ^ { 2 } $，得 $ 4 a = 4 $，$ \therefore a = 1 $，即 $ y = x ^ { 2 } $。
(1)把(1,2)代入 $ y = a x ^ { 2 } $，得 $ a = 2 $，$ \therefore y = 2 x ^ { 2 } $。
(2)$ \because $抛物线 $ y = a x ^ { 2 } $与 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $的开口大小相同、方向相反，$ \therefore a = - \frac { 1 } { 2 } $，即 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $。
(3)$ \because $直线 $ y = \frac { 1 } { 2 } x + 3 $经过点(2,m)，
$ \therefore m = \frac { 1 } { 2 } × 2 + 3 = 4 $，$ \therefore $交点坐标为(2,4)。
把(2,4)代入 $ y = a x ^ { 2 } $，得 $ 4 a = 4 $，$ \therefore a = 1 $，即 $ y = x ^ { 2 } $。
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