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点 $ B $ 把线段 $ AC $ 分成不相等的两部分 $ (AB＞BC) $，如果
$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AC}$
，那么称线段 $ AC $ 被点 $ B $ 黄金分割，点 $ B $ 为线段 $ AC $ 的黄金分割点。$ AB $ 与$AC$
(或 $ BC $ 与$AB$
)的比叫做黄金比，它们的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
，近似值为$0.618$
。
答案：
$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$
1. 已知 $ P $ 为线段 $ AB $ 的黄金分割点，且 $ AP＞PB $，则(
A.$ AP^{2}+BP^{2}=AB^{2} $
B.$ BP^{2}=AP· AB $
C.$ AP^{2}=AB· BP $
D.$ AB^{2}=AP· PB $
C
)A.$ AP^{2}+BP^{2}=AB^{2} $
B.$ BP^{2}=AP· AB $
C.$ AP^{2}=AB· BP $
D.$ AB^{2}=AP· PB $
答案：
1. C
2. (2024·南京期末)若 $ P $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点，且 $ AP＞BP $，$ AB=2 $，则 $ AP= $
$\sqrt{5}-1$
。(保留根号)
答案：
2. $\sqrt{5}-1$
3. 如图，$ AD $ 是 $ △ ABC $ 的外角平分线，且 $ \frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}+1}{2} $，求证：$ C $ 是 $ BD $ 的黄金分割点。
答案：
3. 证明：如答图，过点C作CE//AD，交AB于点E.
∵CE//AD，
∴∠2=∠3，∠1=∠4.
∵AD是△ABC的外角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴AE=AC.
∵CE//AD，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
∵$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BD$，
即C是BD的黄金分割点.
3. 证明：如答图，过点C作CE//AD，交AB于点E.
∵CE//AD，
∴∠2=∠3，∠1=∠4.
∵AD是△ABC的外角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴AE=AC.
∵CE//AD，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
∵$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BD$，
即C是BD的黄金分割点.
4. 如图，$ C $，$ D $ 是线段 $ AB $ 上的点，$ CD=(\sqrt{5}-2)AB $，$ AC=BD $，则点 $ C $，$ D $ 是黄金分割点吗？为什么？
答案：
4. 解：点C，D是黄金分割点，理由如下：
∵AC+CD+BD=AB，$CD=(\sqrt{5}-2)AB$，AC=BD，
∴$AC=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$，
$AD=AC+CD=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB+(\sqrt{5}-2)AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
∴D是AB的黄金分割点，
同理C也是AB的黄金分割点.
∵AC+CD+BD=AB，$CD=(\sqrt{5}-2)AB$，AC=BD，
∴$AC=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$，
$AD=AC+CD=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB+(\sqrt{5}-2)AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
∴D是AB的黄金分割点，
同理C也是AB的黄金分割点.
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