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用二次函数解决抛物线问题，一般先建立
平面直角坐标系
，再求出抛物线的函数表达式
，最后利用函数的性质求解.
答案：
平面直角坐标系 函数表达式
1. (2024·盐都区期末)日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境. 我国某集团军在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度 $ y $ (米)与飞行时间 $ x $ (秒)之间的关系式为 $ y = -\frac{1}{5}x^{2} + 10x $，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为(
A.10 秒
B.25 秒
C.50 秒
D.100 秒
C
)A.10 秒
B.25 秒
C.50 秒
D.100 秒
答案：
1. C
2. 如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大距离是 5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离. (提示:建立恰当的平面直角坐标系)
答案：
2. 解:以水面所在直线为x轴，建立如答图所示的平面直角坐标系，
由题意知点$A(-5,0),B(5,0),C(0,5).$
设抛物线的函数表达式为$y=ax^{2}+5,$
将$(-5,0)$代入，得$25a+5=0$，解得$a=-\frac {1}{5}$，
则抛物线的函数表达式为$y=-\frac {1}{5}x^{2}+5.$
当$y=4$时，$-\frac {1}{5}x^{2}+5=4$，
解得$x=\pm \sqrt {5}$，
则两盏景观灯之间的水平距离为$2\sqrt {5}m.$
第2题答图
2. 解:以水面所在直线为x轴，建立如答图所示的平面直角坐标系，
由题意知点$A(-5,0),B(5,0),C(0,5).$
设抛物线的函数表达式为$y=ax^{2}+5,$
将$(-5,0)$代入，得$25a+5=0$，解得$a=-\frac {1}{5}$，
则抛物线的函数表达式为$y=-\frac {1}{5}x^{2}+5.$
当$y=4$时，$-\frac {1}{5}x^{2}+5=4$，
解得$x=\pm \sqrt {5}$，
则两盏景观灯之间的水平距离为$2\sqrt {5}m.$
第2题答图
3. (2024·梁溪区期末)如图，河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽 6 m 时，水面离桥拱顶部 2 m，因降暴雨水位上升 1 m，此时水面宽为多少米? (结果保留根号)
答案：
3. 解:以抛物线的对称轴为y轴，水面为x轴建立平面直角坐标系，如答图.
由题意，得抛物线的顶点坐标为$(0,2)$，点C的坐标为$(3,0),$
设抛物线的函数表达式为$y=ax^{2}+2,$
∵经过点$C(3,0),\therefore 9a+2=0,$
解得$a=-\frac {2}{9},\therefore y=-\frac {2}{9}x^{2}+2.$
当$y=1$时，$1=-\frac {2}{9}x^{2}+2,$
解得$x_{1}=\frac {3\sqrt {2}}{2},x_{2}=-\frac {3\sqrt {2}}{2},$
$\therefore AB=\frac {3\sqrt {2}}{2}-(-\frac {3\sqrt {2}}{2})=3\sqrt {2}(m).$
答:此时水面宽为$3\sqrt {2}m.$
第3题答图
3. 解:以抛物线的对称轴为y轴，水面为x轴建立平面直角坐标系，如答图.
由题意，得抛物线的顶点坐标为$(0,2)$，点C的坐标为$(3,0),$
设抛物线的函数表达式为$y=ax^{2}+2,$
∵经过点$C(3,0),\therefore 9a+2=0,$
解得$a=-\frac {2}{9},\therefore y=-\frac {2}{9}x^{2}+2.$
当$y=1$时，$1=-\frac {2}{9}x^{2}+2,$
解得$x_{1}=\frac {3\sqrt {2}}{2},x_{2}=-\frac {3\sqrt {2}}{2},$
$\therefore AB=\frac {3\sqrt {2}}{2}-(-\frac {3\sqrt {2}}{2})=3\sqrt {2}(m).$
答:此时水面宽为$3\sqrt {2}m.$
第3题答图
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