《2026年毕业总复习全解数学》

8. (浙江杭州)甲、乙两人一起搬一批货物，甲8分钟搬完了这批货物的一半，甲休息1小时后，甲、乙一起用6分钟搬完了这批货物。第二天又来了同样一批货物，只有乙一个人搬，他需要多少分钟搬完?

答案： 8. 甲的工作效率：$\frac {1}{2}÷8=\frac {1}{16}$
乙的工作效率：$(\frac {1}{2}-\frac {1}{16}×6)÷6=\frac {1}{48}$
乙独自完成需要的时间：$1÷\frac {1}{48}=48$(分)
解析：先根据“甲8分钟搬完了这批货物的一半”可知，甲每分钟搬这批货物的$\frac {1}{2}÷8=\frac {1}{16}$。再由“甲、乙一起用6分钟搬完了这批货物”可知，乙每分钟搬这批货物的$(\frac {1}{2}-\frac {1}{16}×6)÷6=\frac {1}{48}$。这样乙独自搬完同样一批货物需要$1÷\frac {1}{48}=48$(分)。

9. (河南郑州)某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果甲、乙两人合作，需要48天完成。现在甲先单独做42天，再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天?

答案： 9. 甲、乙两人合作28天，完成这项工程的$28÷48=\frac {7}{12}$
甲的工作效率：$(1-\frac {7}{12})÷(63-28)=\frac {1}{84}$
乙的工作效率：$\frac {1}{48}-\frac {1}{84}=\frac {1}{112}$
乙还需要做：$(1-\frac {1}{84}×42)÷\frac {1}{112}=56$(天)
解析：甲、乙两人合作，需要48天完成，甲、乙的工作效率和是$\frac {1}{48}$。这项工程先由甲单独做63天，乙再单独做28天完成，可看作甲、乙先合作28天，再由甲单独做$63-28=35$(天)，这样甲的工作效率就是$(1-\frac {28}{48})÷35=\frac {1}{84}$，乙的工作效率是$\frac {1}{48}-\frac {1}{84}=\frac {1}{112}$。现在甲先单独做42天，剩下的乙还需要做$(1-\frac {1}{84}×42)÷\frac {1}{112}=56$(天)。

10. (福建厦门)搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有A、B两个相同的仓库，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，与此同时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后同时搬运完两个仓库里的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几小时?

答案： 10. $(1+1)÷(\frac {1}{10}+\frac {1}{12}+\frac {1}{15})=8$(时)
$(1-\frac {1}{10}×8)÷\frac {1}{15}=3$(时)
$8-3=5$(时)
解析：假设每个仓库里的货物质量为单位“1”，那么就可以把他们搬运货物的总质量看成“2”。甲、乙、丙搬完A、B两个仓库的货物共用的时间为$2÷(\frac {1}{10}+\frac {1}{12}+\frac {1}{15})=8$(时)，丙帮助甲搬运的时间为$(1-\frac {1}{10}×8)÷\frac {1}{15}=3$(时)，丙帮助乙搬运的时间为$8-3=5$(时)。

11. (西安市名校新初一入学摸底考试题)一项工程，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，那么完成这项工程的$\frac{2}{3}$一共要用多少小时?

答案： 11. $\frac {2}{3}÷(\frac {1}{9}+\frac {1}{12})=3\frac {3}{7}$(个)
$(\frac {1}{9}+\frac {1}{12})×\frac {3}{7}÷\frac {1}{9}=\frac {3}{4}$(时)
$(1+1)×3+\frac {3}{4}=6\frac {3}{4}$(时)
解析：甲、乙两人的工作效率分别为$\frac {1}{9}$和$\frac {1}{12}$，把甲工作1小时、乙工作1小时看成1个循环，则完成这项工程的$\frac {2}{3}$需要$\frac {2}{3}÷(\frac {1}{9}+\frac {1}{12})=3\frac {3}{7}$(个)循环，而$\frac {3}{7}$个循环的工作量为$(\frac {1}{9}+\frac {1}{12})×\frac {3}{7}=\frac {1}{12}$。$\frac {1}{12}＜\frac {1}{9}$，所以余下的工作量由甲完成，需要的时间为$\frac {1}{12}÷\frac {1}{9}=\frac {3}{4}$(时)，完成这项工程的$\frac {2}{3}$一共要用$(1+1)×3+\frac {3}{4}=6\frac {3}{4}$(时)。