《2026年毕业总复习全解数学》

例5（上海浦东）计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{99×100}$。

答案： 分析 本题主要考查运用拆分法简算的能力。算式里的每个加数都可以拆分成两个分数相减的形式，即$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，…这样其中一部分分数就可以互相抵消，使计算简便。
解答
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{99×100}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$
$=1-\frac{1}{100}$
$=\frac{99}{100}$
总结 当一个分数的分母是两个相邻自然数的积，而分子是这两个相邻自然数的差或和时，可以把这个分数拆分成两个分数相减或相加的形式，即$\frac{b - a}{a×b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$，$\frac{b + a}{a×b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$。（$a$、$b$均不为0，且$b＞a$）

例6（江苏连云港）规定$A★B=(A - 2)×B$，已知$m★6 = 36$，求$m$的值。

答案： 分析 本题考查对定义新运算的理解和掌握情况。由$A★B=(A - 2)×B$可知，$m★6=(m - 2)×6 = 36$，解这个方程，即可求出$m$的值。
解答
$m★6 = 36$
$(m - 2)×6 = 36$
解：$m - 2 = 6$
$m = 8$
提示 解答此类题的关键是抓住定义新运算的本质，把已知数代入原式使其转化为方程，求出未知数的值即可。