《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

1. ◆2025·大连高新园区期末◆ 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$.
(1)尺规作图：作线段$AD$的垂直平分线$EF$，垂足为点$O$，分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$，连接$DF$.
(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，猜想线段$DF$与$AE$的关系，并说明理由.

答案：
1.
(1)如图，直线EF即为所求.

(2)解：线段DF与AE平行且相等.
理由：
∵EF为AD的垂直平分线，
∴OA = OD，FA = FD.
∴∠FAD = ∠FDA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠FAD.
∴∠BAD = ∠FDA.
∴AE//DF.
在△AOE和△DOF中，$\begin{cases}\angle EAO = \angle FDO, \\ AO = DO, \\ \angle AOE = \angle DOF,\end{cases}$
∴△AOE ≌ △DOF(ASA).
∴AE = DF.
∴线段DF与AE平行且相等.

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$BA=BC$，点$D$是$CB$延长线上的一点，点$E$是$AB$的中点.
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母.(保留作图痕迹，不写作法)
①作$\angle DBA$的平分线$BM$.
②连接$CE$并延长，交$BM$于点$F$.
(2)求证：$BF=AC$.

答案：
2.
(1)如图，射线BM及点F即为所求.

(2)证明：
∵BA = BC，
∴∠A = ∠BCA.
∴∠DBA = ∠A + ∠BCA = 2∠A.
∵BM平分∠DBA，
∴∠EBF = $\frac{1}{2}$∠DBA = ∠A.
∵点E是AB的中点，
∴BE = AE.
在△BFE和△ACE中，$\begin{cases} \angle BEF = \angle AEC, \\ BE = AE, \\ \angle EBF = \angle A,\end{cases}$
∴△BFE ≌ △ACE(ASA).
∴BF = AC.