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4.【教材原题】观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$。
【类比探究】(1)观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积之和的运算为
【应用】(2)根据图2所得的公式，若$a + b = 15$，$ab = 4$，则$a^{2}+b^{2}=$
(3)若$x$满足$(5 - x)(x - 1)=2$，求$(5 - x)^{2}+(x - 1)^{2}$的值.
【拓展】(4)如图3，某学校有一块梯形空地$ABCD$，$AC\perp BD$于点$E$，且$AE = DE$，$BE = CE$。该校计划在$\triangle AED$和$\triangle BEC$的区域内种花，在$\triangle CDE$和$\triangle ABE$的区域内种草.经测量，种花区域的面积之和为$109m^{2}$，$AC = 16m$，求种草区域的面积之和.
【类比探究】(1)观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积之和的运算为
$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$
【应用】(2)根据图2所得的公式，若$a + b = 15$，$ab = 4$，则$a^{2}+b^{2}=$
217
$.$(3)若$x$满足$(5 - x)(x - 1)=2$，求$(5 - x)^{2}+(x - 1)^{2}$的值.
【拓展】(4)如图3，某学校有一块梯形空地$ABCD$，$AC\perp BD$于点$E$，且$AE = DE$，$BE = CE$。该校计划在$\triangle AED$和$\triangle BEC$的区域内种花，在$\triangle CDE$和$\triangle ABE$的区域内种草.经测量，种花区域的面积之和为$109m^{2}$，$AC = 16m$，求种草区域的面积之和.
答案：
4.
(1)$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$
(2)$217$
(3)解:设$5 - x=m,x - 1=n$,则$m + n=5 - x+x -$
$1=4,mn=(5 - x)(x - 1)=2$.
$\therefore(5 - x)^{2}+(x - 1)^{2}=m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn=$
$4^{2}-2×2=12$.
(4)解:设$AE = DE=a,BE = CE=b$.
$\therefore a + b=AE + CE=AC = 16$.
∵$S_{\triangle AED}+S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=109$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=218$.
$\therefore S_{草区域}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=ab=$
$\frac{(a + b)^{2}-(a^{2}+b^{2})}{2}=\frac{16^{2}-218}{2}=19(m^{2})$.
(1)$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$
(2)$217$
(3)解:设$5 - x=m,x - 1=n$,则$m + n=5 - x+x -$
$1=4,mn=(5 - x)(x - 1)=2$.
$\therefore(5 - x)^{2}+(x - 1)^{2}=m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn=$
$4^{2}-2×2=12$.
(4)解:设$AE = DE=a,BE = CE=b$.
$\therefore a + b=AE + CE=AC = 16$.
∵$S_{\triangle AED}+S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=109$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=218$.
$\therefore S_{草区域}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=ab=$
$\frac{(a + b)^{2}-(a^{2}+b^{2})}{2}=\frac{16^{2}-218}{2}=19(m^{2})$.
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