《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

3. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，点$D$为射线$AB$上一动点，以$DC$为边作等边三角形$CDE$（点$C$，$D$，$E$按顺时针方向排列），探究线段$EA$与$ED$的数量关系.
(1)如图1，当点$D$与点$B$重合时，点$E$在$AB$上，猜想$EA$与$ED$的数量关系，并说明理由.
(2)如图2，当点$D$在$AB$的延长线上时，证明(1)中的结论仍然成立.

答案：
3.
(1)解：EA = ED.
理由：
∵△CBE为等边三角形，
∴BC = BE.
∵∠ACB = 90°, ∠ABC = 60°，
∴∠A = 180° - ∠ACB - ∠ABC = 30°.
∴AB = 2BC = 2BE.
∴EA = AB - BE = BE，即EA = ED.
(2)证明：如图，在AB上取点F，使BF = BC，连接CF，EF.
∵BF = BC, ∠ABC = 60°,
∴△CBF为等边三角形.
∴∠FCB = ∠CFB = 60°, BC = FB = FC.
∵△CDE为等边三角形，
∴CE = CD = ED, ∠ECD = 60°.
∴∠ECD - ∠ECB = ∠FCB - ∠ECB，即∠BCD = ∠FCE.
在△CFE和△CBD中，$\begin{cases} CF = CB, \\ ∠FCE = ∠BCD, \\ CE = CD \end{cases}$
∴△CFE≌△CBD(SAS).
∵∠CFE = ∠CBD = 180° - ∠ABC = 120°.
∵∠CFB = 60°,
∴∠EFD = ∠CFE - ∠CFB = 60°.
∴∠AFE = 180° - ∠EFD = 120°.
∴∠AFE = ∠CFE.
由
(1)得，AB = 2BC = 2BF，
∴BF = AF = CF.
在△CFE和△AFE中，$\begin{cases} EF = EF, \\ ∠EFC = ∠EFA, \\ FC = FA \end{cases}$
∴△CFE≌△AFE(SAS).
∴EA = EC = ED.