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3.在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用$n×n$的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的$4$个数，设这$4$个数分别为$a$，$b$，$c$，$d(a ＜ b ＜ c ＜ d)$，计算$bc - ad$的值，探索其运算结果的规律.
当$n = 2$时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出了两个$2×2$的方框，通过计算$7×13 - 6×14 = 7$，$17×23 - 16×24 = 7$，发现$bc - ad = 7$。
(1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律.
(2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明.
(3)请你利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究：
若$n = 3$，如图2，在月历中用$3×3$的方框框住位置上的$4$个数，直接写出$bc - ad$的值的规律.
当$n = 2$时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出了两个$2×2$的方框，通过计算$7×13 - 6×14 = 7$，$17×23 - 16×24 = 7$，发现$bc - ad = 7$。
(1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律.
(2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明.
(3)请你利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究：
若$n = 3$，如图2，在月历中用$3×3$的方框框住位置上的$4$个数，直接写出$bc - ad$的值的规律.
答案：
3.
(1)解:答案不唯一,如:若$a = 3,b = 4,c = 10,d = 11$,
则$bc - ad=4×10 - 3×11=7$.符合规律.
(2)证明:设$a = x$,则$b = x + 1,c = x + 7,d = x + 8$.
$\therefore bc - ad=(x + 1)(x + 7)-x(x + 8)=x^{2}+8x +$
$7 - x^{2}-8x=7$.
(3)$bc - ad=28$.
(1)解:答案不唯一,如:若$a = 3,b = 4,c = 10,d = 11$,
则$bc - ad=4×10 - 3×11=7$.符合规律.
(2)证明:设$a = x$,则$b = x + 1,c = x + 7,d = x + 8$.
$\therefore bc - ad=(x + 1)(x + 7)-x(x + 8)=x^{2}+8x +$
$7 - x^{2}-8x=7$.
(3)$bc - ad=28$.
4.规定两数$a$，$b$之间的一种运算：如果$a^{c}=b$，那么$(a,b)=c$。例如：$\because3^{2}=9$，$\therefore(3,9)=2$。
(1)根据上述规定，计算：$(2,8)=$
(2)若$(5,x)=m$，$(5,y)=n$，且$m + n = 3$，求$xy$的值.
(3)若$(4,3)=a$，$(4,8)=b$，$(4,24)=c$，尝试证明：$a + b = c$。
(1)根据上述规定，计算：$(2,8)=$
3
$.$(2)若$(5,x)=m$，$(5,y)=n$，且$m + n = 3$，求$xy$的值.
(3)若$(4,3)=a$，$(4,8)=b$，$(4,24)=c$，尝试证明：$a + b = c$。
答案：
4.
(1)$3$
(2)解:
∵$(5,x)=m,(5,y)=n$,
∴$x = 5^{m},y = 5^{n}$.
∵$m + n=3$,
∴$xy=5^{m}×5^{n}=5^{m + n}=5^{3}=125$.
(3)证明:
∵$(4,3)=a,(4,8)=b$,
∴$4^{a}=3,4^{b}=8$.
∵$(4,24)=c$,
∴$4^{c}=24=3×8=4^{a}×4^{b}=4^{a + b}$.
$\therefore a + b=c$.
(1)$3$
(2)解:
∵$(5,x)=m,(5,y)=n$,
∴$x = 5^{m},y = 5^{n}$.
∵$m + n=3$,
∴$xy=5^{m}×5^{n}=5^{m + n}=5^{3}=125$.
(3)证明:
∵$(4,3)=a,(4,8)=b$,
∴$4^{a}=3,4^{b}=8$.
∵$(4,24)=c$,
∴$4^{c}=24=3×8=4^{a}×4^{b}=4^{a + b}$.
$\therefore a + b=c$.
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