《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

1. 如图，$AB = AC$，直线$l$过点$A$，$BM \perp l$，$CN \perp l$，垂足分别是点$M$，$N$，$BM = AN$.
(1)求证：$\triangle AMB \cong \triangle CNA$.
(2)求证：$\angle BAC = 90^{\circ}$.

答案： 1.证明：
(1)
∵BM⊥l，CN⊥l，
∴∠AMB = ∠CNA = 90°.
在Rt△AMB和Rt△CNA中，$\begin{cases} AB = CA, \\ BM = AN \end{cases}$
∴Rt△AMB≌Rt△CNA(HL).
(2)由
(1)得，Rt△AMB≌Rt△CNA.
∴∠MAB = ∠NCA.
∵∠NCA + ∠NAC = 90°，
∴∠MAB + ∠NAC = 90°.
∴∠BAC = 180° - (∠MAB + ∠NAC) = 90°.

2. 如图1是一个平分角的仪器，其中$OD = OE$，$DF = EF$.
(1)如图2，将仪器放置在$\triangle ABC$上，使点$O$与顶点$A$重合，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，连接$AF$并延长交$BC$于点$P$. $AP$是$\angle BAC$的平分线吗？请判断并说明理由.
(2)如图3，在(1)的条件下，过点$P$作$PQ \perp AB$于点$Q$. 若$PQ = 6$，$AC = 9$，$\triangle ABC$的面积是$60$，求$AB$的长.

答案：
2.解：
(1)AP是∠BAC的平分线.
在△ADF和△AEF中，$\begin{cases} AD = AE, \\ AF = AF, \\ DF = EF \end{cases}$
∴△ADF≌△AEF(SSS).
∴∠DAF = ∠EAF.
∴AP平分∠BAC.
(2)如图，过点P作PG⊥AC于点G.
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴PG = PQ = 6.
∵AC = 9，
∴S△APC = $\frac{1}{2}$AC·PG = 27.
∵S△ABC = 60，
∴S△ABP = S△ABC - S△APC = 33.
∵S△ABP = $\frac{1}{2}$AB·PQ = 33，
∴AB = 11.