《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

1.在计算$(2x + a)(x + b)$时，甲错把$b$看成了$6$，得到的结果是$2x^{2}+8x - 24$；乙错把$a$看成了$4$，得到的结果是$2x^{2}+14x + 20$。
(1)求$a$，$b$的值。
(2)计算$(2x + a)(x + b)$的正确结果。

答案： 1.解:
(1)
∵$(2x+a)(x+6)=2x^{2}+(12+a)x+6a=$
$2x^{2}+8x - 24$,
∴$6a=-24$.
∴$a=-4$.
∵$(2x + 4)(x + b)=2x^{2}+(2b + 4)x+4b=2x^{2}+$
$14x + 20$,
∴$4b=20$.
∴$b=5$.
(2)
∵$a=-4,b=5$,
∴原式$=(2x - 4)(x + 5)=$
$2x^{2}+10x-4x - 20=2x^{2}+6x - 20$.

2.已知$(x + 3p)(x^{2}-x+\frac{1}{3}q)$的化简结果中不含$x$项与$x^{2}$项.
(1)求$p$，$q$的值.
(2)求$p^{2024}q^{2025}$的值.

答案： 2.解:
(1)
∵$(x + 3p)\left(x^{2}-x+\frac{1}{3}q\right)=x^{3}+(3p - 1)x^{2}+$
$\left(\frac{1}{3}q - 3p\right)x+pq$,其中不含$x$项与$x^{2}$项,
$\begin{cases}3p - 1=0,\frac{1}{3}q - 3p=0.\end{cases}$解得$\begin{cases}p=\frac{1}{3},\\q=3.\end{cases}$
(2)$p^{2024}q^{2025}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2024}×3^{2025}=3$.

3.你能求出$(x - 1)(x^{2015}+x^{2014}+x^{2013}+x^{2012}+·s+x + 1)$的值吗？遇到这样的问题，我们可以从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值.
①$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$；
②$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$；
③$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1$；
……
(1)由此我们可以得到：
①$(x - 1)(x^{2015}+x^{2014}+x^{2013}+x^{2012}+·s+x + 1)=$$x^{2016}-1$
②$2^{100}+2^{99}+2^{98}+2^{97}+·s+2 + 1=$$2^{101}-1$$.$
(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算：
$x[(x + 1)^{2025}+(x + 1)^{2024}+(x + 1)^{2023}+(x + 1)^{2022}+·s+(x + 1)+1]$。

答案： 3.
(1)①$x^{2016}-1$ ②$2^{101}-1$
(2)解:原式$=[(x + 1)-1][(x + 1)^{2025}+(x + 1)^{2024}+$
$(x + 1)^{2023}+(x + 1)^{2022}+·s+(x + 1)+1]=(x +$
$1)^{2026}-1$.