《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

1. ◆2025·大连沙河口区期末◆ 如图，有线段$AB$，分别以点$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于$M$，$N$两点，作直线$MN$，点$C$在直线$MN$上，连接$CA$，$CB$，延长$AC$至点$D$.请根据要求完成以下作图与证明.
(1)尺规作图：作$\angle BCD$的平分线$CE$.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证：$CE// AB$.

答案：
1.
(1)如图，射线CE即为所求.

(2)证明：由题意得，直线MN为线段AB的垂直平分线.
∴CA = CB.
∴∠A = ∠B.
∵∠BCD = ∠A + ∠B，
∴∠BCD = 2∠B，即∠B = $\frac{1}{2}$∠BCD.
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE = $\frac{1}{2}$∠BCD.
∴∠B = ∠BCE.
∴CE//AB.

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC=BC$.
(1)尺规作图：作$BC$的垂直平分线，交$BC$于点$D$，交$AC$于点$E$，连接$BE$.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若$BE=BA$，求$\angle C$的度数.

答案：
2.
(1)如图，DE即为所求.

(2)解：
∵DE垂直平分BC，
∴EB = EC.
∴∠EBC = ∠C.
∴∠BEA = ∠EBC + ∠C = 2∠C.
∵BE = BA，
∴∠A = ∠BEA = 2∠C.
∵CA = CB，
∴∠CBA = ∠A = 2∠C.
∵∠A + ∠CBA + ∠C = 180°，
∴2∠C + 2∠C + ∠C = 180°.
∴∠C = 36°.