《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

3. 对$x$，$y$定义一种新运算$T$，规定$T(x,y)=\frac{ax^{2}+by^{2}}{x+y}$(其中$a$，$b$是非零常数，且$x+y\neq0$)，如：
$T(3,1)=\frac{a×3^{2}+b×1^{2}}{3+1}=\frac{9a+b}{4}$，$T(m,-2)=\frac{am^{2}+4b}{m-2}$.
(1)$T(4,-1)=$$\frac{16a + b}{3}$.(用含$a,b$的式子表示)
(2)已知$T(-2,0)=-2$，$T(5,-1)=6$.
①求$a$与$b$的值.
②若$T(3m-10,-3m)=T(-3m,3m-10)$，求$m$的值.

答案： 3.
(1)$\frac{16a + b}{3}$
(2)解：①$\because T(-2,0) = \frac{a × (-2)^2 + b × 0^2}{-2 + 0} = -2a = -2$，
$T(5,-1) = \frac{a × 5^2 + b × (-1)^2}{5 - 1} = \frac{25a + b}{4} = 6$，
$\therefore a = 1$，$25a + b = 24$.
$\therefore b = -1$.
②由①得，$a = 1$，$b = -1$，
$\therefore T(3m - 10,-3m) = \frac{1 × (3m - 10)^2 + (-1) × (-3m)^2}{3m - 10 - 3m} =$
$\frac{-6m + 10}{-10} = 6m - 10$.
$\because T(3m - 10,-3m) = T(-3m,3m - 10)$，
$\therefore 6m - 10 = -6m + 10$，解得$m = \frac{5}{3}$.
$\therefore m$的值为$\frac{5}{3}$.

4. 甲、乙两支工程队各接到了美化800米道路的施工任务，已知甲工程队的工作效率是乙工程队的2倍，甲工程队完成施工任务所需的时间比乙工程队少2天，设乙工程队每天完成$x$米的道路美化.
(1)甲工程队每天完成$2x$米的道路美化，甲工程队完成施工任务所需的时间是$\frac{400}{x}$天，乙工程队完成施工任务所需的时间是$\frac{800}{x}$天.(用含$x$的式子表示)
(2)求甲、乙两支工程队每天各完成多少米的道路美化.
(3)若甲、乙两支工程队每天的施工费分别是6400元和3500元，另外还有4000米的道路需要美化.甲、乙两支工程队共同施工一段时间后，甲工程队另有任务，剩下的的任务只能由乙工程队单独完成.要使总施工费不超过68000元，那么甲工程队至少需要工作多少天?
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答案： 4.
(1)$2x \frac{400}{x} \frac{800}{x}$(或$\frac{400}{x} + 2$)
(2)解：根据题意，得$\frac{800}{x} - \frac{400}{x} = 2$.
方程两边乘$x$，得$800 - 400 = 2x$，解得$x = 200$.
检验：当$x = 200$时，$x \neq 0$.
$\therefore$原分式方程的解是$x = 200$.
$\therefore 2x = 400$.
答：甲工程队每天完成400米的道路美化，乙工程队每天完成200米的道路美化.
(3)解：设甲工程队需要工作$m$天，则乙工程队需要工作$\frac{4000 - 400m}{200}$天，即$(20 - 2m)$天.
根据题意，得$6400m + 3500(20 - 2m) \leq 68000$.
解得$m \geq \frac{10}{3}$.
$\because m$为整数，$\therefore m$的最小值为4.
答：甲工程队至少需要工作4天.