《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

3. 如图，$AD // BC$，$\angle D = 90^{\circ}$，$\angle DAB$的平分线与$\angle CBA$的平分线交于点$P$，且点$D$，$P$，$C$在同一条直线上.
(1)求$\angle APB$的度数.
(2)求证：点$P$是$CD$的中点.

答案：
3.
(1)解：
∵AD//BC，
∴∠DAB + ∠CBA = 180°.
∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB = $\frac{1}{2}$∠DAB，∠PBA = $\frac{1}{2}$∠CBA.
∴∠PAB + ∠PBA = $\frac{1}{2}$(∠DAB + ∠CBA) = 90°.
∴∠APB = 180° - (∠PAB + ∠PBA) = 90°.
(2)证明：如图，过点P作PF⊥AB于点F.
∵∠D = 90°，AD//BC，
∴∠C = 180° - ∠D = 90°.
∴PD⊥AD，PC⊥BC.
∵PF⊥AB，AP平分∠DAB，BP平分∠CBA，
∴PD = PF = PC.
∴点P是CD的中点.
　　　　　　　

4. 如图，在平面直角坐标系中，点$A(0,a)$，$B(b,0)$，连接$AB$.
(1)已知$a$，$b$满足$a^{2} + 2ab + b^{2} = 0$，$\triangle ABO$的面积为$8$. 若$a ＞ 0$，则点$A$的坐标是(0，4)，点$B$的坐标是(-4，0).
(2)在(1)的条件下，点$D$为$AB$上一点，连接$OD$，点$E$在$OD$上. 若$AE = OA$，$\angle BED = 30^{\circ}$，求证：$OE = BE$.

答案：
4.
(1)(0，4) (-4，0)
(2)证明：如图，过点A作AM⊥OE于点M，过点B作BN⊥OE交OE的延长线于点N.
∴∠AMO = ∠ONB = 90°.
∵点A(0，4)，B(-4，0)，
∴OA = OB = 4.
∵AE = OA，
∴OE = 2OM.
在Rt△EBN中，
∵∠BED = 30°，
∴BE = 2BN.
∵∠AMO + ∠MAO = ∠AMO + ∠NOB = 90°，
∴∠MAO = ∠NOB.
在△AOM和△OBN中，$\begin{cases} ∠AMO = ∠ONB, \\ ∠MAO = ∠NOB, \\ AO = OB \end{cases}$
$\therefore \triangle AOM\cong\triangle OBN(AAS)$.
$\therefore OM = BN$. $\therefore 2OM = 2BN$，即 $OE = BE$.