《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

3. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，如：$\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}$.在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：$\frac{4}{x+1}$，$\frac{x+1}{x^{2}}$.当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：$\frac{x+2}{x-1}$，$\frac{x^{2}-1}{2x+1}$.类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：$\frac{x+2}{x-1}=\frac{(x-1)+3}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{3}{x-1}=1+\frac{3}{x-1}$；$\frac{x^{2}}{x-2}=\frac{(x^{2}-4)+4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}+\frac{4}{x-2}=x+2+\frac{4}{x-2}$.
(1)$\frac{x^{2}}{2x}$是假分式.(填“真”或“假”)
(2)将假分式$\frac{3x+1}{x-1}$，$\frac{x^{2}+3}{x+2}$分别化为整式与真分式的和的形式.
(3)若分式$\frac{2x^{2}-1}{x-1}$的值为整数，求出所有符合条件的整数$x$的值.

答案： 3.
(1)假
(2)解：$\frac{3x + 1}{x - 1} = \frac{3(x - 1) + 4}{x - 1} = 3 + \frac{4}{x - 1}$.
$\frac{x^2 + 3}{x + 2} = \frac{x^2 - 4 + 7}{x + 2} = \frac{(x + 2)(x - 2) + 7}{x + 2} = x - 2 + \frac{7}{x + 2}$.
(3)解：$\frac{2x^2 - 1}{x - 1} = \frac{2(x^2 - 1) + 1}{x - 1} = \frac{2(x + 1)(x - 1) + 1}{x - 1} =$
$2(x + 1) + \frac{1}{x - 1}$.
$\because$分式的值为整数，$x$为整数，
$\therefore x - 1 = \pm 1$，$\therefore x = 2$或$0$.

4. 阅读材料并回答问题.
方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{2}$；方程$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解为$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{1}{3}$；
方程$x+\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解为$x_{1}=4$，$x_{2}=\frac{1}{4}$；$\ldots\ldots$
(1)观察上述方程的解，猜想关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=2025+\frac{1}{2025}$的解是
(2)猜想关于$x$的方程$x-\frac{1}{x}=-3+\frac{1}{3}$的解，并验证你的结论.
(3)请仿照上述方程的解法，对方程$y+\frac{2y+5}{y+2}=\frac{26}{5}$进行变形，并求出方程的解.

答案： 4.
(1)$x_1 = 2025$，$x_2 = \frac{1}{2025}$
(2)$x_1 = 3$，$x_2 = -\frac{1}{3}$
证明：当$x = 3$时，等式左边$= 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3} =$等式右边.当
$x = -\frac{1}{3}$时，等式左边$= -\frac{1}{3} - (-3) = \frac{8}{3} =$等式右边.
(3)解：$\because y + \frac{2y + 5}{y + 2} = \frac{26}{5}$，$\therefore y + \frac{2(y + 2) + 1}{y + 2} = \frac{26}{5}$.
$\therefore y + 2 + \frac{1}{y + 2} = 5 + \frac{1}{5}$，$\therefore y + 2 = 5$或$y + 2 = \frac{1}{5}$.
$\therefore y = 3$或$y = -\frac{9}{5}$.