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1.观察下列式子：①$1×3 + 1 = 2^{2}$；②$3×5 + 1 = 4^{2}$；③$5×7 + 1 = 6^{2}$；……
(1)根据你发现的规律，请写出第4个等式：
(2)根据你发现的规律，请写出第$n$个等式($n$为正整数)：
(3)请写出第2025个等式：
(1)根据你发现的规律，请写出第4个等式：
$7×9 + 1=8^{2}$
(2)根据你发现的规律，请写出第$n$个等式($n$为正整数)：
$(2n - 1)(2n + 1)+1=4n^{2}$
，并证明你所写出的等式的正确性.(3)请写出第2025个等式：
$4049×4051 + 1=4050^{2}$
$.$
答案：
1.
(1)$7×9 + 1=8^{2}$
(2)$(2n - 1)(2n + 1)+1=4n^{2}$
证明:等式左边$=4n^{2}-1 + 1=4n^{2}=$等式右边.
$\therefore$等式成立.
(3)$4049×4051 + 1=4050^{2}$
(1)$7×9 + 1=8^{2}$
(2)$(2n - 1)(2n + 1)+1=4n^{2}$
证明:等式左边$=4n^{2}-1 + 1=4n^{2}=$等式右边.
$\therefore$等式成立.
(3)$4049×4051 + 1=4050^{2}$
2.对于任意数$a$，$b$，$c$，$d$，规定$(a,b)☆(c,d)=a^{2}-bc + d^{2}$。
(1)计算$(1,2)☆(3,-2)$的结果为
(2)对于数$x$，$y$，已知$x + y = 8$，$(x,x)☆(y,y)=46$。
①求$xy$的值.
②将长方形$ABCD$和长方形$CEFG$按照如图所示的方式放置，点$E$在边$CD$上，连接$BD$，$BF$。若$AB = 2x$，$AD = x$，$EF = 2y$，$FG = y$，求图中阴影部分的面积.
(1)计算$(1,2)☆(3,-2)$的结果为
-1
$.$(2)对于数$x$，$y$，已知$x + y = 8$，$(x,x)☆(y,y)=46$。
①求$xy$的值.
②将长方形$ABCD$和长方形$CEFG$按照如图所示的方式放置，点$E$在边$CD$上，连接$BD$，$BF$。若$AB = 2x$，$AD = x$，$EF = 2y$，$FG = y$，求图中阴影部分的面积.
答案：
2.
(1)$-1$
(2)解:①
∵$x + y=8$,
∴$(x,x)☆(y,y)=x^{2}-xy + y^{2}=$
$(x + y)^{2}-3xy=8^{2}-3xy=46$.
∴$xy = 6$.
②$S_{阴影部分}=S_{\triangle DCB}+S_{长方形CEFG}-S_{\triangle BGF}=\frac{1}{2}·2x·$
$2x + 2y· y-\frac{1}{2}y(x + 2y)=x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}xy=(x + y)^{2}-$
$\frac{5}{2}xy=8^{2}-\frac{5}{2}×6=49$.
(1)$-1$
(2)解:①
∵$x + y=8$,
∴$(x,x)☆(y,y)=x^{2}-xy + y^{2}=$
$(x + y)^{2}-3xy=8^{2}-3xy=46$.
∴$xy = 6$.
②$S_{阴影部分}=S_{\triangle DCB}+S_{长方形CEFG}-S_{\triangle BGF}=\frac{1}{2}·2x·$
$2x + 2y· y-\frac{1}{2}y(x + 2y)=x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}xy=(x + y)^{2}-$
$\frac{5}{2}xy=8^{2}-\frac{5}{2}×6=49$.
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