《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

1.(1)已知$a - b = 1$，$a^{2}+b^{2}=9$，求$ab$的值.
(2)已知$a+\frac{1}{a}=4$，求$(a-\frac{1}{a})^{2}$的值.

答案： 1.解:
(1)
∵$a - b=1$,
∴$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}=1$.
∵$a^{2}+b^{2}=9$,
∴$9 - 2ab=1$.
∴$ab = 4$.
(2)
∵$a+\frac{1}{a}=4$,
∴$\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}=a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2=16$.
$\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=14$.
∴$\left(a-\frac{1}{a}\right)^{2}=a^{2}+\frac{1}{a^{2}}-2=14 - 2=12$.

2.已知$a$，$b$，$c$为有理数，且$(x^{2}+3x - 4)(x-\frac{c}{4})$化简后的结果是$x^{3}+ax^{2}+bx + c$。
(1)求$4a + c$的值.
(2)若$a$，$b$，$c$为整数，且$c\geqslant a＞1$，试求$a$，$b$，$c$的值.

答案： 2.解:
(1)
∵$\left(x^{2}+3x - 4\right)\left(x-\frac{c}{4}\right)=x^{3}+\left(3-\frac{c}{4}\right)x^{2}-$
$\left(4+\frac{3c}{4}\right)x+c=x^{3}+ax^{2}+bx + c$,
$\therefore3-\frac{c}{4}=a$.
∴$a+\frac{c}{4}=3$.
$\therefore4a + c=12$.
(2)由
(1)得,$a=3-\frac{c}{4},b=-\left(4+\frac{3c}{4}\right)$.
∵$c\geqslant a＞1$,
∴$c\geqslant3-\frac{c}{4}＞1$.
∴$\frac{12}{5}\leqslant c＜8$.
∵$c$为整数,
∴$c = 3,4,5,6,7$.
∵$a=3-\frac{c}{4}$,且$a$为整数,
∴$c = 4$.
$\therefore a=3-\frac{c}{4}=3 - 1=2,b=-\left(4+\frac{3c}{4}\right)=-(4 + 3)=-7$.
$\therefore a$的值是$2,b$的值是$-7,c$的值是$4$.