《2026年决胜中考物理安徽专版》

4. (2025·绥化)如图所示，水平桌面上有一个圆柱形薄壁容器。容器内竖立一个圆柱形杯子(材料质地均匀)，高为 $ 0.09 \, m $，底面积为 $ 2 × 10^{-3} \, m^2 $。现只向容器内注水，当容器内水的深度为 $ 0.06 \, m $ 时，杯子对容器底部的压力刚好为零;接下来同时向容器内和杯中注水，当杯口与容器内的水面相平时，杯中水的体积是杯子容积的一半，且杯子对容器底部的压力也刚好为零。(整个过程中，杯底与容器底部始终接触但不紧密，$ g = 10 \, N/kg $)求:
(1)只向容器内注水，当水的深度为 $ 0.06 \, m $ 时，水对容器底部的压强。
(2)空杯子的质量。
(3)该杯子材料的密度。
(4)继续向杯子中注水，直至注满，此时杯子对容器底部的压强是多少?

答案： 4.解：
(1)当容器内水的深度为$h_{1}=0.06 m$，容器底所受压强$p=\rho_{水}gh_{1}=1.0 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × 0.06 m=600 Pa$。
(2)当容器内水的深度$h_{1}=0.06 m$时，杯子排开水的体积$V_{排}=Sh_{1}=2 × 10^{-3} m^{2} × 0.06 m=1.2 × 10^{-4} m^{3}$，根据阿基米德原理，杯子此时所受的浮力$F=\rho_{水}gV_{排}=1.0 ×10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × 1.2 × 10^{-4} m^{3}=1.2 N$，此时杯子对容器底部的压力刚好为零，即$G_{杯}=F=1.2 N$，杯子的质量$m_{杯}=\frac{G_{杯}}{g}=\frac{1.2 N}{10 N/kg}=0.12 kg$。
(3)由题意可知，杯中水的重力等于增加的浮力，即$G_{杯水}=\Delta F$，由此可得$m_{杯水}g=\rho_{水}g\Delta V_{排}$，即$\rho_{水}g(h_{2}-h_{1})S$，杯子中水的体积$V_{杯水}=(h_{2}-h_{1})S=(0.09 m -0.06 m) × 2 × 10^{-3} m^{2}=6 × 10^{-5} m^{3}$，当杯口与容器内的水面相平时，杯子排开水的体积$V_{排}'=Sh_{2}=2 × 10^{-3} m^{2} ×0.09 m=1.8 × 10^{-4} m^{3}$，组成杯子材料的体积$V_{杯}=V_{排}'-2V_{杯水}=1.8 × 10^{-4} m^{3}-2 × 6 × 10^{-5} m^{3}=6 × 10^{-5} m^{3}$，杯子材料的密度$\rho_{杯}=\frac{m_{杯}}{V_{杯}}=\frac{0.12 kg}{6 × 10^{-5} m^{3}}=2 × 10^{3} kg/m^{3}$。
(4)杯子注满水后，杯子对容器底部的压强等于后来注入的水对容器底产生的压强，所以$p'=\frac{F'}{S}=\frac{\Delta G_{水}}{S}=\frac{\Delta m_{水}g}{S}=\frac{\rho_{水}\Delta V_{杯水}g}{S}=\frac{1.0 × 10^{3} kg/m^{3} × 6 × 10^{-5} m^{3} × 10 N/kg}{2 × 10^{-3} m^{2}}=300 Pa$。