《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

14. (2024 安徽合肥期末)某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从A，B，C三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励（例如：若5人中2人抽到A，2人抽到B，1人抽到C，则抽到C的人获奖；若5人中3人抽到A，1人抽到B，1人抽到C，则抽到B和C的人均获奖；若A，B，C中有一个或两个字母没人抽到，则无人获奖）.
（1）若甲和乙在同一组，求在甲获奖的前提下，乙获奖的概率.
（2）设每组5人中获奖人数为随机变量$X$，求$X$的分布列和数学期望.
（3）记上述方案为方案一. 商家提供方案二：将A，B，C三个字母改为A和B两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元. 作为消费者，站在每组5人获取奖金总额的数学期望的角度分析，你是否选择方案二？

答案：
14. 解：
(1) 设甲获奖为事件 A,乙获奖为事件 B,
则 $P(B|A) = \frac{n(AB)}{n(A) + C_{3}^{2}A_{3}^{3}} = \frac{1}{7}$.
(2) $X$ 的可能取值为 $0,1,2$,
$P(X = 0) = \frac{C_{2}^{2}A_{3}^{3} + C_{2}^{1}C_{1}^{1}A_{3}^{3} + C_{1}^{1}A_{3}^{3}}{3^5} = \frac{93}{243}$,$P(X = 1) = \frac{C_{2}^{1}C_{1}^{1}A_{3}^{3}}{3^5} = \frac{90}{243}$,$P(X = 2) =$
$\frac{C_{2}^{2}C_{1}^{1}A_{3}^{3}}{3^5} = \frac{60}{243}$,
所以 $X$ 的分布列为

$X$ 的数学期望 $E(X) = 0 × \frac{93}{243} + 1 × \frac{90}{243} + 2 × \frac{60}{243} = \frac{70}{81}$.
(3) 选择方案一获取奖金总额的数学期望为 $\frac{70}{81} × 300 = \frac{7000}{27}$.
设选择方案二获奖的人数为 $Y$,$Y$ 的可能取值为 $0,1,2$,
则 $P(Y = 0) = \frac{A_{2}^{2}}{2^5} = \frac{2}{32}$,$P(Y = 1) = \frac{C_{2}^{1}A_{2}^{2}}{2^5} = \frac{10}{32}$,$P(Y = 2) =$
$\frac{C_{2}^{2}A_{2}^{2}}{2^5} = \frac{20}{32}$,
方案二获奖人数的数学期望 $E(Y) = 0 × \frac{2}{32} + 1 × \frac{10}{32} + 2 ×$
$\frac{20}{32} = \frac{25}{16}$,
选择方案二获取奖金总额的数学期望为 $\frac{25}{16} × 200 = \frac{625}{2}$.
因为 $\frac{625}{2} ＞ \frac{7000}{27}$,所以选择方案二.

15. (2024 江苏南京、盐城期末)已知某种机器的电源电压$U$（单位：V）服从正态分布$N(220,20^{2})$. 其电压通常有3种状态：①不超过200 V；②在200～240 V；③超过240 V. 在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2.
（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；
（2）从该机器生产的零件中随机抽取$n(n\geqslant2)$件，记其中恰有2件不合格品的概率为$p_{n}$，求$p_{n}$取得最大值时$n$的值.
附：若$Z\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$P(\mu - \sigma\lt Z\lt\mu + \sigma)=0.68$，$P(\mu - 2\sigma\lt Z\lt\mu + 2\sigma)=0.95$.

答案： 15. 解：
(1) 记电压“不超过 $200 V$”“在 $200 \sim 240 V$”“超
过 $240 V$”分别为事件 $A,B,C$,“该机器生产的零件为不合格
品”为事件 $D$.
因为 $U \sim N(220,20^2)$，所以 $P(A) = P(U \leq 200) =$
$1 - P(\mu - \sigma ＜ U ＜ \mu + \sigma) = 1 - 0.68 = 0.16$,
$P(B) = P(200 ＜ U ＜ 240) = P(\mu - \sigma ＜ U ＜ \mu + \sigma) = 0.68$,
$P(C) = P(U ＞ 240) = 1 - P(\mu - \sigma ＜ U ＜ \mu + \sigma) = 1 - 0.68 =$
$0.16$.
所以 $P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) =$
$0.16 × 0.15 + 0.68 × 0.05 + 0.16 × 0.2 = 0.09$,
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为 $0.09$.
(2) 从该机器生产的零件中随机抽取 $n$ 件,设不合格品件数为
$X$,则 $X \sim B(n,0.09)$,
所以 $p_n = P(X = 2) = C_{n}^{2} · 0.09^2 · 0.91^{n - 2}$.
由 $\frac{p_{n + 1}}{p_n} = \frac{C_{n + 1}^{2} · 0.09^2 · 0.91^{n - 1}}{C_{n}^{2} · 0.09^2 · 0.91^{n - 2}} = \frac{n + 1}{n - 1} × 0.91 ＞ 1$,解得 $2 \leq$
$n ＜ \frac{191}{9}$.
又 $n \in N^*$,所以当 $2 \leq n \leq 21$ 时$,p_n ＜ p_{n + 1}$;当 $n \geq 22$ 时$,p_n ＞$
$p_{n + 1}$,所以 $p_{22}$ 最大.
因此当 $n = 22$ 时$,p_n$ 最大.