《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

9. （多选题，2024 河北唐山联考）已知平行六面体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$，则下列各式运算结果是$\overrightarrow{AC_1}$的有 $\boldsymbol{(\quad)}$

A.$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$
B.$\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{A_1D_1}$
C.$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}$
D.$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC_1}$

答案： 9.ABC对于A，$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA₁} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC₁} = \overrightarrow{AC₁}$，故A正确；对于B，$\overrightarrow{AA₁} + \overrightarrow{A₁B₁} + \overrightarrow{A₁D₁} = \overrightarrow{CC₁} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC₁}$，故B正确；对于C，$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC₁} = \overrightarrow{AC₁}$，故C正确；对于D，$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC₁} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \neq \overrightarrow{AC₁}$，故D错误。

10. （多选题，2024 贵州阶段检测）如图，在三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，$P$为空间一点，且满足$\overrightarrow{BP} = \lambda\overrightarrow{BC} + \mu\overrightarrow{BB_1}$，$\lambda$，$\mu \in [0, 1]$，则下列说法正确的是 $\boldsymbol{(\quad)}$


A.当$\lambda = 0$时，点$P$在棱$BB_1$上
B.当$\lambda = \mu$时，点$P$在线段$B_1C$上
C.当$\mu = 1$时，点$P$在棱$B_1C_1$上
D.当$\lambda + \mu = 1$时，点$P$在线段$B_1C$上

答案： 10.ACD对于A，当$\lambda = 0$时，$\overrightarrow{BP} = \mu\overrightarrow{BB₁}$，$\mu \in [0,1]$，所以$\overrightarrow{BP} // \overrightarrow{BB₁}$，则点P在棱BB₁上，故A正确；对于B，当$\lambda = \mu$时，$\overrightarrow{BP} = \lambda(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB₁})$，$\lambda \in [0,1]$，即$\overrightarrow{BP} = \lambda\overrightarrow{BC₁}$，即$\overrightarrow{BP} // \overrightarrow{BC₁}$，所以点P在线段BC₁上，故B错误；对于C，当$\mu = 1$时，$\overrightarrow{BP} = \lambda\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB₁}$，$\lambda \in [0,1]$，所以$\lambda\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BP} - \overrightarrow{BB₁}$，所以$\overrightarrow{B₁P} = \lambda\overrightarrow{BC} = \lambda\overrightarrow{B₁C₁}$，即$\overrightarrow{B₁P} // \overrightarrow{B₁C₁}$，所以点P在棱B₁C₁上，故C正确；对于D，当$\lambda + \mu = 1$时，$\overrightarrow{BP} = \lambda\overrightarrow{BC} + (1 - \lambda)\overrightarrow{BB₁}$，$\lambda \in [0,1]$，所以$\overrightarrow{BP} - \overrightarrow{BB₁} = \lambda\overrightarrow{BC} - \lambda\overrightarrow{BB₁}$，即$\overrightarrow{B₁P} = \lambda\overrightarrow{B₁C₁}$，即$\overrightarrow{B₁P} // \overrightarrow{B₁C₁}$，所以点P在线段B₁C₁上，故D正确。

11. (2024 云南保山期中)若空间非零向量$\boldsymbol{e_1}$，$\boldsymbol{e_2}$不共线，则使$2k\boldsymbol{e_1} - \boldsymbol{e_2}$与$\boldsymbol{e_1} + 2(k + 1)\boldsymbol{e_2}$共线的$k$的值为$-\frac{1}{2}$。

答案： 11.$-\frac{1}{2}$由题意知，存在实数$\lambda$，使得$2k\vec{e₁} - \vec{e₂} = \lambda[\vec{e₁} + 2(k + 1)\vec{e₂}] = \lambda \vec{e₁} + 2\lambda(k + 1)\vec{e₂}$，即$\begin{cases} \lambda = 2k, \\ 2\lambda(k + 1) = - 1, \end{cases}$解得$\begin{cases} \lambda = - 1, \\ k = - \frac{1}{2}. \end{cases}$

12. (2024 广东佛山南海期中)如图，O为$\triangle ABC$所在平面外的一点，M为BC的中点，$\overrightarrow{AG} = \lambda\overrightarrow{AM}，$且$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OC}，$则实数$\lambda$的值为$\frac{1}{2}$。

答案： 12.$\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = (1 - \lambda)\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$，所以$1 - \lambda = \frac{1}{2}$，且$\frac{\lambda}{2} = \frac{1}{4}$，解得$\lambda = \frac{1}{2}$。

13. （2024 江苏徐州联考）已知平行六面体$ABCD - A'B'C'D'$，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量。

(1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$；
(2) $\overrightarrow{DD'} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$；
(3) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{DD'} - \overrightarrow{BC})$。

答案：
13.解：
(1)$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA₁} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC₁} = \overrightarrow{AC₁}$。
(2)$\overrightarrow{DD₁} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DD₁} - (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{DD₁} - \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BD₁}$。
(3)$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{DD₁} - \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{CC₁} + \overrightarrow{CB}) = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CB₁}$。设M是线段CB₁的中点，则$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM}$。
向量$\overrightarrow{AC₁}$，$\overrightarrow{BD₁}$，$\overrightarrow{AM}$如图所示。

14. （2024 四川泸县联考）如图，已知四棱柱ABCD - A'B'C'D'的六个面都是平行四边形，点M在对角线A'B上，且$A'M = \frac{1}{2}MB，$点N在体对角线A'C上，且$A'N = \frac{1}{3}NC。$
(1) 设向量$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}，$$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}，$$\overrightarrow{AA'} = \boldsymbol{c}，$用$\boldsymbol{a}，$$\boldsymbol{b}，$$\boldsymbol{c}$表示向量$\overrightarrow{D'M}，$$\overrightarrow{D'N}；$
(2) 求证：M，N，D'三点共线。

答案： 14.
(1)解：因为A₁M = $\frac{1}{2}$MB，所以$\overrightarrow{A₁M} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A₁B} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A₁A} + \overrightarrow{AB}) = - \frac{1}{3}\overrightarrow{A₁A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{D₁M} = \overrightarrow{D₁A₁} + \overrightarrow{A₁M} = - \overrightarrow{AD} + (- \frac{1}{3}\overrightarrow{A₁A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}) = \frac{1}{3}\vec{a} - \frac{3}{4}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}$。
因为A₁N = $\frac{1}{3}$NC，所以$\overrightarrow{A₁N} = \frac{1}{4}\overrightarrow{A₁C} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{A₁A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$，所以$\overrightarrow{D₁N} = \overrightarrow{D₁A₁} + \overrightarrow{A₁N} = - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}(\overrightarrow{A₁A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AD} - \frac{1}{4}\overrightarrow{A₁A} = \frac{1}{4}\vec{a} - \frac{3}{4}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c}$。
(2)证明：因为$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{A₁N} - \overrightarrow{A₁M} = \frac{1}{4}\overrightarrow{A₁C} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A₁B} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{A₁C} - \overrightarrow{A₁B}) - \frac{1}{12}\overrightarrow{A₁B} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC} - \frac{1}{12}\overrightarrow{A₁B} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{BC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A₁B})$，且$\overrightarrow{MD₁} = \overrightarrow{A₁D₁} - \overrightarrow{A₁M} = \overrightarrow{A₁D₁} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A₁B} = \overrightarrow{BC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A₁B}$，所以$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{MD₁}$。
又因为M为MN与MD₁的公共起点，所以M，N，D₁三点共线。

15. (2024 山东威海阶段检测)在正三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$中，$AB = AA_1 = 1$，点$P$满足$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BC} + n\overrightarrow{BB_1}$，其中$n \in [0, 1]$，则$\triangle AB_1P$周长的最小值是$\sqrt{2} + \sqrt{5}$。

答案：
15.$\sqrt{2} + \sqrt{5}$由题意得点P在线段CC₁上。沿AA₁展开正三棱柱ABC - A₁B₁C₁的侧面，如图所示，故△AB₁P的周长为$AB₁ + AP + B₁P = \sqrt{2} + AP + B₁P \geqslant \sqrt{2} + \sqrt{1² + 2²} = \sqrt{2} + \sqrt{5}$，当且仅当B₁，P，A三点共线时，取等号。