《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

1. (2024山东菏泽阶段练习)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件能确定点M,A,B,C共面的是 (D)

A.$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
B.$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$
C.$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$
D.$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$

答案： 1.D 对平面ABC外的任一点O，点M，A，B，C共面的充要条件是$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，且$x + y + z = 1$.对于A，由$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$，得$1 + 1 + 1 = 3\neq1$，点M，A，B，C不共面，A不符；对于B，由$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，得$2+(-1)+(-1)=0\neq1$，点M，A，B，C不共面，B不符；对于C，由$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，得$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\neq1$，点M，A，B，C不共面，C不符；对于D，由$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，得$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$，点M，A，B，C共面，D符合.

2. (2023湖南岳阳期末)已知点D在$\triangle ABC$确定的平面内,O是平面ABC外任意一点,实数x,y满足$\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$,则$x^2+y^2$的最小值为 (D)

A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.1
D.2

答案： 2.D 因为$\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，点D在$\triangle ABC$确定的平面内，所以$x + y - 1 = 1$，即$x = 2 - y$，所以$x^{2}+y^{2}=(2 - y)^{2}+y^{2}=2y^{2}-4y + 4=2(y - 1)^{2}+2\geqslant2$，所以当$y = 1$时，$x^{2}+y^{2}$取最小值2.

3. (2024广东江门联考)已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$,向量$\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$,则与$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$必共面的向量为 (B)

A.$\overrightarrow{OA}$
B.$\overrightarrow{OB}$
C.$\overrightarrow{OC}$
D.$\overrightarrow{OA}$或$\overrightarrow{OC}$

答案： 3.B 由题意知，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不共线，$x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})+y(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=(x + y)\overrightarrow{OA}+(-x + y)\overrightarrow{OB}+(x + y)\overrightarrow{OC}$.对于A，若$\overrightarrow{OA}$与$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共面，则存在唯一的有序实数对$(x,y)$，使$\overrightarrow{OA}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$，即$\begin{cases}x + y = 1,\\-x + y = 0,\\x + y = 0,\end{cases}$该方程组无解，故A错误；对于B，若$\overrightarrow{OB}$与$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共面，则存在唯一的有序实数对$(x,y)$，使$\overrightarrow{OB}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$，即$\begin{cases}x + y = 0,\\-x + y = 1,\\x + y = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\frac{1}{2},\\y=\frac{1}{2}.\end{cases}$，$\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OB}$与$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共面，故B正确；对于C，若$\overrightarrow{OC}$与$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共面，则存在唯一的有序实数对$(x,y)$，使$\overrightarrow{OC}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$，即$\begin{cases}x + y = 0,\\-x + y = 0,\\x + y = 1,\end{cases}$该方程组无解，故C错误；对于D，由A，C的判断知，D错误.

4. (多选题,2024山东济宁阶段练习)对于空间四点A,B,C,D及空间任意一点O,由下列条件一定可以得出A,B,C,D四点共面的有 (ACD)

A.$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AD}$
B.$\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{DO}$
C.$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{AC}$
D.$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}+3\overrightarrow{AO}-5\overrightarrow{DO}$

答案： 4.ACD 对于A，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AD}$，一定有$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AD}$共面，且有公共顶点A，故A，B，C，D四点共面，故A正确；对于B，$\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{DO}=3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$，$3 - 1 + 1\neq1$，故A，B，C，D四点不共面，故B错误；对于C，$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{AC}$，可得A，B，C三点共线，则A，B，C，D四点一定共面，故C正确；对于D，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}+3\overrightarrow{AO}-5\overrightarrow{DO}=-\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OD}$，$-1 - 3 + 5 = 1$，故A，B，C，D四点一定共面，故D正确.

5. (2024山东聊城期中)已知$\boldsymbol{i}$,$\boldsymbol{j}$,$\boldsymbol{k}$是不共面向量,$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}$,$\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}-2\boldsymbol{k}$,$\boldsymbol{c}=7\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+\lambda\boldsymbol{k}$.若$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$三个向量共面,则实数$\lambda=$4.

答案： 5.4 以$\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$为空间一个基底.因为$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$三个向量共面，所以存在$x,y\in\mathbf{R}$，使得$\boldsymbol{a}=x\boldsymbol{b}+y\boldsymbol{c}$，即$\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}=x(-\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}-2\boldsymbol{k})+y(7\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+\lambda\boldsymbol{k})$，整理得$\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}=(-x + 7y)\boldsymbol{i}+(4x + 2y)\boldsymbol{j}+(-2x+\lambda y)\boldsymbol{k}$，所以$\begin{cases}-x + 7y = 1,\\4x + 2y = -1,\\-2x+\lambda y = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\frac{3}{10},\\y=\frac{1}{10},\\\lambda = 4.\end{cases}$

6. (2024江苏淮安期中)已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点.若由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{OC}$确定的一点P与A,B,C三点共面,则$\lambda=$$\frac{7}{15}$.

答案： 6.$\frac{7}{15}$ 由$P$与A，B，C三点共面以及$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{OC}$，可得$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+\lambda = 1$，所以$\lambda=\frac{7}{15}$.

7. (2024北京朝阳期中)已知$\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MB}$是空间两个不共线的向量,$\overrightarrow{MC}=5\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}$,那么必有 (C)

A.$\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MC}$共线
B.$\overrightarrow{MB}$,$\overrightarrow{MC}$共线
C.$\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MB}$,$\overrightarrow{MC}$共面
D.$\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MB}$,$\overrightarrow{MC}$不共面

答案： 7.C 若$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MC}$共线，则可设$\overrightarrow{MC}=\lambda\overrightarrow{MA}(\lambda\in\mathbf{R})$，又$\overrightarrow{MC}=5\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}$，则$\lambda\overrightarrow{MA}=5\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}$，得$\frac{\lambda + 3}{5}\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}$，则$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$共线，与条件矛盾，故A错误；同理若$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$共线，则可设$\overrightarrow{MC}=\lambda\overrightarrow{MB}(\lambda\in\mathbf{R})$，又$\overrightarrow{MC}=5\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}$，则$\lambda\overrightarrow{MB}=5\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}$，得$\frac{\lambda + 3}{5}\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}$，与条件矛盾，故B错误；根据空间共面向量定理可知$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$共面，即C正确，D错误.

8. (2024江苏盐城期末)已知点D在$\triangle ABC$确定的平面内,O是平面ABC外任意一点.若正实数x,y满足$\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}+2y\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$,则$\frac{2x+y}{xy}$的最小值为 (B)

A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{9}{2}$
C.2
D.4

答案： 8.B 由A，B，C，D四点共面，可知$x + 2y - 1 = 1$，即$x + 2y = 2$.由$x＞0$，$y＞0$得，$\frac{2x + y}{xy}=\frac{2}{y}+\frac{1}{x}=\frac{1}{2}(x + 2y)(\frac{2}{y}+\frac{1}{x})=\frac{1}{2}(5+\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x})\geqslant\frac{1}{2}(5 + 2\sqrt{\frac{2x}{y}·\frac{2y}{x}})=\frac{9}{2}$，当且仅当$\frac{2x}{y}=\frac{2y}{x}$，即$x = y=\frac{2}{3}$时，等号成立.

9. (多选题,2024安徽马鞍山月考)下列说法正确的是 (ABD)

A.若$\boldsymbol{p}=2\boldsymbol{x}+3\boldsymbol{y}$,则$\boldsymbol{p}$与$\boldsymbol{x}$,$\boldsymbol{y}$共面
B.若$\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}$,则M,P,A,B共面
C.若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\boldsymbol{0}$,则A,B,C,D共面
D.若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{5}{6}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$,则P,A,B,C共面

答案： 9.ABD 选项A，根据共面向量基本定理可知，$p$与$x$，$y$共面，所以选项A正确；选项B，根据共面向量基本定理可知，$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$共面，由于它们有公共起点$M$，所以$M$，$P$，$A$，$B$共面，所以选项B正确；选项C，举反例说明，若$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$是一个正方体同一个顶点$O$的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以$O$为起点的体对角线向量，而$\overrightarrow{OD}$是该体对角线向量的相反向量，此时$A$，$B$，$C$，$D$四个点显然不在同一个平面上，所以选项C错误；选项D，由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{5}{6}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$可得$6\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}$，则$0 = 3\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OP}+5\overrightarrow{OB}-5\overrightarrow{OP}+2\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{OC}$，即$0 = 3\overrightarrow{PA}+5\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{CP}$，则$\overrightarrow{PC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PA}+\frac{5}{2}\overrightarrow{PB}$，此时与选项B一样，可以判断四点共面，所以选项D正确.