《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

15. (2024 山东期中)组合数学研究的内容之一是计数,母函数是重要的计数工具之一.其定义如下:对于序列$a_{0},a_{1},a_{2},·s$,定义$G(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+·s$为序列$a_{0},a_{1},a_{2},·s$的母函数.母函数的计数方法与二项式定理的原理相似:假设有红、黄、蓝各一个小球,计算由它们组成的所有组合的个数,可考虑三步完成,即每个小球是否参与组合.我们用$x^{0}$即$1$代表小球不参与,$x$代表小球参与,根据分类计数原理,$1 + x$代表一个小球是否参与组合的两种情况,根据分步计数原理,用代数式$(1 + x)(1 + x)(1 + x)$表示三个小球是否参与组合的情况,所以母函数为$G(x)=1 + 3x + 3x^{2}+x^{3}$,例如,其中$3x^{2}$中的系数$3$就是由两个小球参与的所有组合个数,而总的组合个数就是$1 + 3 + 3 + 1 = 8$.
(1) 假设有四个不同的小球,令$a_{n}$为由$n$个小球参与的所有组合个数,试写出$a_{0}$,$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$的一个与问题对应的母函数$G(x)$;
(2) 已知$r\mathrm{C}_{n + r}^{r}=(n + 1)\mathrm{C}_{n + r}^{r + 1}$,其中$1\leqslant r\leqslant n$.现有一序列$a_{0},a_{1},a_{2},·s,a_{2n}$的母函数$G(x)=\sum\limits_{i = 1}^{n}i(1 + x)^{n + i}=a_{0}+a_{1}x+·s+a_{n}x^{n}+·s+a_{2n}x^{2n}$,其中$n\in\mathbf{N}^{*}$,求$a_{n}$;
(3) 在某班的$8$位男同学和$5$位女同学中,组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组,令$a_{n}$为从$8$位男同学中选取$n$位的所有组合个数,令$b_{n}$为从$5$位女同学中选取$n$位的所有组合个数,分别写出$a_{0},a_{1},a_{2},·s,a_{n}$和$b_{0},b_{1},b_{2},·s,b_{n}$的与问题对应的母函数$A(x)$和$B(x)$,并求总的组合个数.

答案： 15. 解：
(1)$G(x)=(1 + x)(1 + x)(1 + x)(1 + x)=1 + 4x + 6x^{2}+4x^{3}+x^{4}$.
(2)因为$G(x)=(1 + x)^{n + 1}+2(1 + x)^{n + 2}+3(1 + x)^{n + 3}+·s + n(1 + x)^{2n}$，所以展开式中$x^{n}$的系数为$C_{n + 1}^{n}+2C_{n + 2}^{n}+·s + nC_{2n}^{n}=C_{n + 1}^{1}+2C_{n + 2}^{2}+3C_{n + 3}^{3}+·s + nC_{2n}^{n}$.
因为$rC_{n + r}^{r}=(n + 1)C_{n + r}^{r + 1}$，所以$x^{n}$的系数为$a_{n}=(n + 1)(C_{n + 2}^{2}+C_{n + 3}^{3}+·s +C_{2n}^{n})=(n + 1)(C_{n + 2}^{2}+C_{n + 3}^{3}+·s +C_{2n}^{n})=(n + 1)C_{2n + 1}^{n + 1}$.
(3)显然$a_{1}=a_{3}=a_{5}=a_{7}=0$，$a_{0}=1,a_{2}=C_{8}^{2}=28,a_{4}=C_{8}^{4}=70,a_{6}=C_{8}^{6}=28,a_{8}=1$，故$A(x)=1 + 28x^{2}+70x^{4}+28x^{6}+x^{8}$.同理$b_{0}=b_{1}=0,b_{2}=b_{3}=10,b_{4}=5,b_{5}=1$，故$B(x)=10x^{2}+10x^{3}+5x^{4}+x^{5}$.令$C(x)=A(x)· B(x)=(1 + 28x^{2}+70x^{4}+28x^{6}+x^{8})· (10x^{2}+10x^{3}+5x^{4}+x^{5})=10x^{2}+10x^{3}+285x^{4}+281x^{5}+840x^{6}+728x^{7}+630x^{8}+350x^{9}+150x^{10}+38x^{11}+5x^{12}+x^{13}$，$C(x)$中$x^{k}$的系数$c_{k}$为符合要求的$k$个人组成的小组的数目，所有组合的个数为$10 + 10 + 285 + 281 + 840 + 728 + 630 + 350 + 150 + 38 + 5 + 1 = 3328$.