《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

8. (2024河北邢台二模)在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\angle BAC = \dfrac{\pi}{2}$，$AB = AC = 2$，$AA_{1} = 3$。
(1) 如图1，$E$为$C_{1}A$上的一动点，$F$为棱$BC$上的一动点，且$\dfrac{AE}{AC_{1}} = \dfrac{CF}{BC}$，求线段$EF$长的最小值。
(2) 如图2，$M$是棱$AB$的中点，$N$是棱$B_{1}C_{1}$的中点，$P$是$BC_{1}$与$B_{1}C$的交点。线段$A_{1}N$上是否存在点$Q$，使得$PQ//$平面$A_{1}CM$？若存在，请确定点$Q$的位置；若不存在，请说明理由。

答案：
8. 解：
(1) 如图，以$\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AA_{1}}\}$为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系$A - xyz$，设$AE = \lambda\overrightarrow{AC_{1}}$，$0 \leq \lambda \leq 1$，则$CF = \lambda\overrightarrow{CB}$，$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$C_{1}(0,2,3)$，故$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CF} = -\lambda\overrightarrow{AC_{1}} + \overrightarrow{AC} + \lambda\overrightarrow{CB} = -\lambda(0,2,3) + (0,2,0) + \lambda(2,-2,0) = (2\lambda, 2 - 4\lambda, -3\lambda)$，所以$|\overrightarrow{EF}| = \sqrt{4\lambda^{2} + (2 - 4\lambda)^{2} + 9\lambda^{2}} = \sqrt{29\lambda^{2} - 16\lambda + 4}$，当$\lambda = \frac{8}{29}$时，$|\overrightarrow{EF}|$取得最小值$\frac{2\sqrt{377}}{29}$，所以线段$EF$长的最小值为$\frac{2\sqrt{377}}{29}$。
(2) 假设存在。设$\overrightarrow{A_{1}Q} = t\overrightarrow{A_{1}N}$，$0 \leq t \leq 1$。$C(0,2,0)$，$M(1,0,0)$，$P(1,1,\frac{3}{2})$，$N(1,1,3)$，$A_{1}(0,0,3)$，故$\overrightarrow{A_{1}M} = (1,0,-3)$，$\overrightarrow{A_{1}C} = (0,2,-3)$，$\overrightarrow{PA_{1}} = (-1,-1,\frac{3}{2})$，$\overrightarrow{A_{1}N} = (1,1,0)$，所以$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA_{1}} + \overrightarrow{A_{1}Q} = \overrightarrow{PA_{1}} + t\overrightarrow{A_{1}N} = (-1,-1,\frac{3}{2}) + t(1,1,0) = (t - 1,t - 1,\frac{3}{2})$。设平面$A_{1}CM$的法向量为$\mathbf{n} = (x, y, z)$，则$\begin{cases}\mathbf{n} · \overrightarrow{A_{1}M} = x - 3z = 0 \\\mathbf{n} · \overrightarrow{A_{1}C} = 2y - 3z = 0\end{cases}$，令$x = 6$，则$z = 2$，$y = 3$，所以$\mathbf{n} = (6,3,2)$。因为$\overrightarrow{PQ} //$平面$A_{1}CM$，所以$\mathbf{n} \perp \overrightarrow{PQ}$，则$\mathbf{n} · \overrightarrow{PQ} = 6(t - 1) + 3(t - 1) + 3 = 0$，解得$t = \frac{2}{3}$，所以线段$A_{1}N$上存在点$Q$，在靠近点$N$的三等分点处，使得$PQ //$平面$A_{1}CM$。

9. (2024上海浦东期末)已知棱长均为$1$的正$n$棱柱有$2n$个顶点，从中任取两个顶点作为向量$\boldsymbol{a}$的起点与终点，设底面的一条棱为$AB$。若集合$A_{n} = \{x\mid x = \boldsymbol{a}·\overrightarrow{AB}\}$，则当$A_{n}$中的元素个数最少时，$n$的值为(B)

A.$3$
B.$4$
C.$6$
D.$8$

答案：
9. B 如图，设$AB$所在的直线为$x$轴，过点$A$且与$AB$垂直的直线为$y$轴，过点$A$且与平面$xAy$垂直的直线为$z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系$A - xyz$，

则$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，得$\overrightarrow{AB} = (1,0,0)$，设$\mathbf{a} = (x, y, z)$，则$\mathbf{a} · \overrightarrow{AB} = (x, y, z) · (1,0,0) = x$。因为该几何体为正$n$棱柱，所以上底面与下底面对应各顶点的横坐标相等。当$n = 3$时，该几何体为正三棱柱，作出其底面$ABC$的示意图，如图：

则$x_{A} = 0$，$x_{B} = 1$，$x_{C} = \frac{1}{2}$，所以$x = 0$或$\pm \frac{1}{2}$或$\pm 1$，即$A_{3} = \{0, \pm \frac{1}{2}, \pm 1\}$，共有$5$个元素。当$n = 4$时，该几何体为正方体，作出其底面$ABCD$的示意图，如图：

则$x_{A} = 0$，$x_{B} = 1$，$x_{C} = 1$，$x_{D} = 0$，所以$x = 0$或$\pm 1$，即$A_{4} = \{0, \pm 1\}$，共有$3$个元素。当$n = 6$时，该几何体为正六棱柱，作出其底面$ABCDEF$的示意图，如图：

则$x_{A} = 0$，$x_{B} = 1$，$x_{C} = \frac{3}{2}$，$x_{D} = 1$，$x_{E} = 0$，$x_{F} = -\frac{1}{2}$，所以$x = 0$或$\pm \frac{1}{2}$或$\pm 1$或$\pm \frac{3}{2}$或$\pm 2$，即$A_{6} = \{0, \pm \frac{1}{2}, \pm 1, \pm \frac{3}{2}, \pm 2\}$，共有$9$个元素。当$n = 8$时，该几何体为正八棱柱，作出其底面$ABCDEFGH$的示意图，如图：

则$x_{A} = 0$，$x_{B} = 1$，$x_{C} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_{D} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_{E} = 1$，$x_{F} = 0$，$x_{G} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_{H} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$x = 0$或$\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$或$\pm 1$或$\pm (1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$或$\pm (1 + \sqrt{2})$，即$A_{8} = \{0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm 1, \pm (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}), \pm (1 + \sqrt{2})\}$，共有$9$个元素。综上，当$n = 4$时，$A_{n}$中的元素个数最少。