《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

15. (2024湖北阶段练习)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系。如果坐标系中有两条坐标轴互相不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”。现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为$ 60° $，我们将这种坐标系称为“斜$ 60° $坐标系”。我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜$ 60° $坐标系”下向量的斜$ 60° $坐标：$ \boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k} $分别为“斜$ 60° $坐标系”下三条数轴（$ x $轴、$ y $轴、$ z $轴）正方向上的单位向量，若向量$ \boldsymbol{n}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k} $，则$ \boldsymbol{n} $与有序实数组$ [x,y,z] $一一对应，称向量$ \boldsymbol{n} $的斜$ 60° $坐标为$ [x,y,z] $，记作$ \boldsymbol{n}=[x,y,z] $。
(1) 若$ \boldsymbol{a}=[1,2,3] $，$ \boldsymbol{b}=[-1,1,2] $，求$ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $的斜$ 60° $坐标。
(2) 在平行六面体$ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $中，$ AB = AD = 2 $，$ AA_1 = 3 $，$ \angle BAD = \angle BAA_1 = \angle DAA_1 = 60° $，建立“空间斜$ 60° $坐标系”如图所示。

①若$ \overrightarrow{BE}=\overrightarrow{EB_1} $，求向量$ \overrightarrow{ED_1} $的斜$ 60° $坐标；
②若$ \overrightarrow{AM}=[3,t,0] $，且$ \overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{AC_1} $，求$ |\overrightarrow{AM}| $。

答案： 15.解：
(1)因为a=[1,2,3]，b=[-1,1,2]，
所以a + b=(i + 2j + 3k)+(-i + j + 2k)=3j + 5k=[0,3,5]，所以a + b的斜60°坐标为[0,3,5].
(2)设i，j，k分别为与$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AA₁}$同方向的单位向量，
则$\overrightarrow{AB}$ = 2i，$\overrightarrow{AD}$ = 2j，$\overrightarrow{AA₁}$ = 3k.
①$\overrightarrow{ED₁}=\overrightarrow{AD₁}-\overrightarrow{AE}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA₁})-(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA₁})=- \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA₁}=-2i + 2j+\frac{3}{2}k=[-2,2,\frac{3}{2}]$
②由题得$\overrightarrow{AC₁}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA₁}=2i + 2j + 3k$.
由$\overrightarrow{AM}$ = [3,t,0]，知$\overrightarrow{AM}$ = 3i + tj.
易知i·j = i·k = j·k = 1×1×$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
由$\overrightarrow{AM}⊥\overrightarrow{AC₁}$，知$\overrightarrow{AM}·\overrightarrow{AC₁}$=(3i + tj)·(2i + 2j + 3k)=0，
所以6i² + 2tj²+(6 + 2t)i·j + 9k·i + 3tk·j = 0，
所以6 + 2t+$\frac{6 + 2t}{2}+\frac{9}{2}+\frac{3t}{2}$ = 0，解得t = -3，
则$|\overrightarrow{AM}|=|3i - 3j|=\sqrt{(3i - 3j)²}=3$.