《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

8. (2023 安徽滁州阶段调研)设随机变量$ X \sim B(3, p) $，$ D(X) = \frac{2}{3} $，且$ E(X) ＞ 1 $。若 8 名党员中有$\frac{15p}{2}$名男党员，从这 8 人中选 4 名代表，记选出的代表中男党员人数为$ Y $，则$ P(Y = 3) = $(A)

A.$\frac{3}{7}$
B.$\frac{4}{7}$
C.$\frac{5}{7}$
D.$\frac{6}{7}$

答案： 8.A 因为$X\sim B(3,p)$，$D(X)=\frac{2}{3}$，所以$3p(1-p)=\frac{2}{3}$，解
得$p=\frac{1}{3}$或$p=\frac{2}{3}$.又因为$E(X)=3p＞1$，所以$p＞\frac{1}{3}$，可得
$p=\frac{2}{3}$，则$\frac{15p}{2}=5$，所以$P(Y=3)=\frac{C_{5}^{3}C_{5}^{2}}{C_{10}^{4}}=\frac{3}{7}$.

9. (多选题，2023 山东聊城期末)一箱儿童玩具中有 3 件一等品、2 件二等品，现从中不放回地任取 2 件进行检测。记随机变量$ X $为检测到的一等品的件数，则(BCD)

A.$ X $服从二项分布
B.$ P(X \geq 1) = \frac{9}{10} $
C.$ E(X) = \frac{6}{5} $
D.最有可能取得的$ X $为 1

答案：
9.BCD 由题意可知X的分布列为

对于A，X服从超几何分布，而不是二项分布，故A错误；对于
B，$P(X\geq1)=1-P(X=0)=\frac{9}{10}$，故B正确；对于C，$E(X)=0×\frac{1}{10}+1×\frac{6}{10}+2×\frac{3}{10}=\frac{6}{5}$，故C正确；对于D，因为当X为1
时的概率最大，所以最有可能取得的X为1，故D正确.

10. (多选题，2024 江苏靖江中学月考)袋中有 6 个大小相同的球，其中 4 个黑球、2 个白球。现从中任取 3 个球，记随机变量$ X $为其中白球的个数，随机变量$ Y $为其中黑球的个数。若取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1 分，记随机变量$ Z $为取出 3 个球的总得分，则下列结论正确的是(ACD)

A.$ E(Y) = 2E(X) $
B.$ P(|Z - 5| \leq 1) = \frac{1}{5} $
C.$ E(Z) = 4 $
D.$ D(Z) = \frac{2}{5} $

答案： 10.ACD X，Y均服从超几何分布，且$X+Y=3$，$Z=2X+Y=3+X$，$P(X=k)=\frac{C_{2}^{k}C_{3}^{3-k}}{C_{6}^{3}}$，$k=0,1,2$.对于选项A，
$E(X)=\frac{3×2}{6}=1$，$E(Y)=3-E(X)=2=2E(X)$，故A正确；
对于选项B，$P(|Z-5|\leq1)=P(|X-2|\leq1)=1-P(X=0)=1-\frac{C_{3}^{3}}{C_{6}^{3}}=\frac{4}{5}$，故B错误；对于选项C，$E(Z)=3+E(X)=3+1=4$，故C正确；对于选项D，$D(Z)=D(3+X)=D(X)=E(X)·\frac{(6-2)×(6-3)}{6×(6-1)}=\frac{2}{5}$，故D正确.
方法总结 若离散型随机变量X服从参数为N,M,n的超几
何分布，则$D(X)=\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}=E(X)·\frac{(N-M)(N-n)}{N(N-1)}$

11. 老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让学生背，规定至少要背出 2 篇才能及格。同学甲只能背出其中的 6 篇，则甲同学能及格的概率为$\frac{2}{3}$；
设抽取的 3 篇课文中甲能背诵的课文有$ \xi $篇，则期望$ E(5\xi + 2) = $11。

答案：
11.$\frac{2}{3}$依题意$\xi$可取0,1,2,3，且服从超几何分布.所以
$P(\xi=k)=\frac{C_{6}^{k}C_{4}^{3-k}}{C_{10}^{3}}(k=0,1,2,3)$，所以$\xi$的分布列为

所以甲同学能及格的概率为$P(\xi\geq2)=P(\xi=2)+P(\xi=3)=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$.随机变量$\xi$的期望$E(\xi)=0×\frac{1}{30}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{6}=\frac{9}{5}$，所以$E(5\xi+2)=5×\frac{9}{5}+2=11$.

12. 3 月 5 日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神，做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从 6 名女生和 3 名男生中选出 5 名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得 2 分，答错得 0 分。已知 6 名女生中有 2 人不会答所有题目，只能得 0 分，其余 4 人可得 2 分，3 名男生每人得 2 分的概率均为$\frac{1}{2}$，现选择 2 名女生和 3 名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和是 6 分的概率为$\frac{43}{120}$。

答案： 12.$\frac{43}{120}$依题意，该班所选队员得分之和为6分记为事件A，
则可分为下列三类：女生得0分、男生得6分，设为事件$A_1$；女
生得2分、男生得4分，设为事件$A_2$；女生得4分、男生得2分，
设为事件$A_3$.因为$P(A_1)=\frac{C_{2}^{2}× C_{3}^{3}(\frac{1}{2})^3}{C_{6}^{3}}=\frac{1}{120}$，$P(A_2)=\frac{C_{2}^{1}C_{3}^{2}×(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{2})^2}{C_{6}^{3}}=\frac{1}{5}$，$P(A_3)=\frac{C_{2}^{2}C_{3}^{1}×(\frac{1}{2})^2(\frac{1}{2})^3}{C_{6}^{3}}=\frac{3}{20}$，所以$P(A)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=\frac{43}{120}$.

13. (2024 江苏南京南航附中月考)为发展业务，某调研组对 A，B 两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内$ n(n \in \mathbf{N}, n ＞ 0) $个城区常住人口超过 1000 万的超大城市和 8 个城区常住人口低于 50 万的小城市中随机抽取若干个进行统计。若一次抽取 2 个城市，则全是小城市的概率为$\frac{4}{15}$。
(1) 求$ n $的值。
(2) 若一次抽取 4 个城市。
① 假设抽取的小城市的个数为$ X $，求$ X $的可能值及相应的概率；
② 若抽取的 4 个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率。

答案： 13.解：
(1)从$(n+8)$个城市中一次抽取2个城市，有$C_{n+8}^{2}$种
情况，
其中全是小城市的有$C_{n}^{2}$种情况，则全是小城市的概率为
$\frac{C_{n}^{2}}{C_{n+8}^{2}}=\frac{8×7}{(n+8)(n+7)}=\frac{4}{15}$，
解得$n=7$(负值舍去).
(2)①由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4，
$P(X=0)=\frac{C_{8}^{4}C_{7}^{0}}{C_{15}^{4}}=\frac{1}{39}$，$P(X=1)=\frac{C_{8}^{3}C_{7}^{1}}{C_{15}^{4}}=\frac{8}{39}$，
$P(X=2)=\frac{C_{8}^{2}C_{7}^{2}}{C_{15}^{4}}=\frac{28}{65}$，$P(X=3)=\frac{C_{8}^{1}C_{7}^{3}}{C_{15}^{4}}=\frac{56}{195}$，
$P(X=4)=\frac{C_{8}^{0}C_{7}^{4}}{C_{15}^{4}}=\frac{2}{39}$.
②若抽取的4个城市全是超大城市，共有$C_{3}^{4}=35$种情况；
若抽取的4个城市全是小城市，共有$C_{7}^{4}=70$种情况.
所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率
为$\frac{35}{35+70}=\frac{1}{3}$.