《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

15. (2024福建厦门期中)当$n \in \mathbf{N}$时，将三项式$(x^2 + x + 1)^n$展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”：
$(x^2 + x + 1)^0 = 1$，
$(x^2 + x + 1)^1 = x^2 + x + 1$，
$(x^2 + x + 1)^2 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$，
$(x^2 + x + 1)^3 = x^6 + 3x^5 + 6x^4 + 7x^3 + 6x^2 + 3x + 1$，
$(x^2 + x + 1)^4 = x^8 + 4x^7 + 10x^6 + 16x^5 +$
$19x^4 + 16x^3 + 10x^2 + 4x + 1$，
……

若在$(1 + ax)(x^2 + x + 1)^5$的展开式中，$x^8$的系数为75，则实数$a$的值为(C)

A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$

答案： 15.C 由$(x^{2} + x + 1)^{n}$的展开式的系数表可知，第$k$行共有 $(2k + 1)$个数字，从左向右第一个数字是1，第2个数字是$k$，从 第3个数字开始是它“头顶”上的数字与其前、后两个数字之 和，例如第4行的第3个数字是10，则$10 = 3 + 1 + 6$，由此可得 第5行的数字为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1，展开式中$x$ 的指数从$2k$开始降幂排列，所以$(x^{2} + x + 1)^{5} = x^{10} + 5x^{9} +$ $15x^{8} + 30x^{7} + 45x^{6} + 51x^{5} + 45x^{4} + 30x^{3} + 15x^{2} + 5x + 1$，所以 $(1 + ax)(x^{2} + x + 1)^{5}$的展开式中，$x^{8}$的系数为$15 + 30a = 75$， 解得$a = 2$.