《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

1. (2023 河北邯郸期末) 已知 $ SA \perp $ 平面 $ ABC $，$ AB \perp AC $，$ SA = AB = 1 $，$ BC = \sqrt{5} $，则空间的一个单位正交基底可以为 (A)

A.$ \left\{ \overrightarrow{AB}, \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AS} \right\} $
B.$ \left\{ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AS} \right\} $
C.$ \left\{ \overrightarrow{AB}, \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}, \frac{1}{2}\overrightarrow{AS} \right\} $
D.$ \left\{ \overrightarrow{AS}, \overrightarrow{AB}, \frac{\sqrt{5}}{5}\overrightarrow{BC} \right\} $

答案： 1.A 因为$SA\perp$平面$ABC$，$AB,AC\subset$平面$ABC$，所以$SA\perp AB$，$SA\perp AC$.因为$AB\perp AC$，$AB = 1$，$BC=\sqrt{5}$，所以$AC = 2$.又$SA = 1$，所以空间的一个单位正交基底可以为$\{\overrightarrow{AB},\frac{1}{2}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}\}$.

2. (2024 广东东莞阶段练习) 如图，在四面体 $ OABC $ 中，$ \overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a} $，$ \overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b} $，$ \overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c} $，点 $ M $ 在线段 $ OA $ 上，且 $ 2OM = MA $，$ N $ 为 $ BC $ 中点，则 $ \overrightarrow{MN} = $ (D)


A.$ \frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} + \frac{1}{2}\boldsymbol{c} $
B.$ \frac{1}{3}\boldsymbol{a} - \frac{1}{2}\boldsymbol{b} + \frac{1}{2}\boldsymbol{c} $
C.$ \frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} - \frac{1}{2}\boldsymbol{c} $
D.$ -\frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} + \frac{1}{2}\boldsymbol{c} $

答案： 2.D 依题意，$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}=-\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c$.
方法总结 利用基底表示空间向量
1.用基底表示空间向量时，若基底向量确定，要利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行化简；若没给基底，首先要选出基底，再求解.
2.用基底表示空间向量的步骤：
(1)定基底：由已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)寻目标：用确定的基底表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形化简.
(3)下结论：利用空间的一个基底$\{a,b,c\}$可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有$a,b,c$，不能含有其他形式的向量.

3. (2024 贵州安顺期末) $ p $:$ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} $ 是三个不共面的单位向量，$ q $:$ \{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\} $ 可为空间的一个基底，则 $ p $ 是 $ q $ 的 (A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.A 根据基底的定义可知，若$a,b,c$是三个不共面的单位向量，则$\{a,b,c\}$可为空间的一个基底，反过来，若$\{a,b,c\}$为空间的一个基底，则$a,b,c$是三个不共面的向量，但不一定是单位向量，所以$p$是$q$的充分不必要条件.

4. (多选题，2024 山西晋中阶段练习) 已知 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} $ 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的向量组是 (BC)

A.$ 2\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b} $
B.$ 2\boldsymbol{b}, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b} + 2\boldsymbol{a} $
C.$ \boldsymbol{a}, 2\boldsymbol{b}, \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c} $
D.$ \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a} - \boldsymbol{c} $

答案： 4.BC 对于A，令$2a = x(a - b)+y(a + 2b)=(x + y)a+(2y - x)b$，则$\begin{cases}x + y = 2,\\2y - x = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{4}{3},\\y=\frac{2}{3},\end{cases}$则三个向量共面，选项A不符；对于B，令$2b = x(b + c)+y(b + 2a)=2ya+(x + y)b+xc$，则$\begin{cases}2y = 0,\\x + y = 2,\\x = 0,\end{cases}$该方程组无解，则三个向量不共面，选项B符合；对于C，令$b - c = xa + 2yb$，则$\begin{cases}0 = x,\\1 = 2y,\\-1 = 0,\end{cases}$该方程组无解，则三个向量不共面，选项C符合；对于D，令$a - c = x(a + b)+y(b - c)=xa+(x + y)b - yc$，则$\begin{cases}1 = y,\\xc + y(a + c)=ya+(x + y)c,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = - 2,\\y = 1,\end{cases}$则三个向量共面，选项D不符.
方法总结 空间向量基底的判断
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.不同基底下，同一向量的表达式也不同.
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
(4)基底的选择一般有两个条件：①基底必须是不共面的非零向量；②在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和长度的向量(这样会让后续计算比较方便).

5. (2024 福建厦门阶段检测) 已知 $ \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} $ 是空间的一个基底，若 $ \lambda \boldsymbol{e}_1 + \mu \boldsymbol{e}_2 + \nu \boldsymbol{e}_3 = \boldsymbol{0} $，则 $ \lambda^2 + \mu^2 + \nu^2 = $0.

答案： 5.O 因为$\{e_1,e_2,e_3\}$是空间的一个基底，所以$e_1,e_2,e_3$为不共面向量.又因为$\lambda e_1+\mu e_2+\upsilon e_3 = 0$，所以$\lambda=\mu=\upsilon = 0$，所以$\lambda^2+\mu^2+\upsilon^2 = 0$.

6. (2024 河南郑州期中) 已知 $ \{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\} $ 是空间的一个单位正交基底，$ \boldsymbol{p} = \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} + 3\boldsymbol{c} $。若 $ \boldsymbol{p} = x(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + y(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) + z\boldsymbol{c} $，则 $ x + y + z = $4.

答案： 6.4 $p = x(a + b)+y(a - b)+zc=(x + y)a+(x - y)b+zc$，又$p = a - 2b + 3c$，所以$x + y = 1$，$x - y = - 2$，$z = 3$，故$x + y + z = 1 + 3 = 4$.

7. (2024 云南临沧阶段练习) 若 $ \{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\} $ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 (C)

A.$ \boldsymbol{b} + 2\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{c} $
B.$ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} $
C.$ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} $
D.$ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}, \boldsymbol{c} $

答案： 7.C 对于A，$b=\frac{1}{2}(b + 2c)+\frac{1}{2}(b - 2c)$，所以$b + 2c,b,b - 2c$三个向量共面，排除A；对于B，$a=\frac{1}{2}(a + 2b)+\frac{1}{2}(a - 2b)$，所以$a,a + 2b,a - 2b$三个向量共面，排除B；对于D，$a + b + c=(a + b)+c$，所以三个向量共面，排除D.

8. (2024 湖北荆门期末) 在四面体 $ OABC $ 中，点 $ M $ 在线段 $ OA $ 上，且 $ OM = 2MA $，$ G $ 是 $ \triangle ABC $ 的重心，设 $ \overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a} $，$ \overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b} $，$ \overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c} $，则 $ \overrightarrow{MG} = $ (C)

A.$ \frac{1}{3}\boldsymbol{a} - \frac{1}{3}\boldsymbol{b} + \frac{1}{3}\boldsymbol{c} $
B.$ -\frac{2}{3}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} + \frac{1}{2}\boldsymbol{c} $
C.$ -\frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{1}{3}\boldsymbol{b} + \frac{1}{3}\boldsymbol{c} $
D.$ \frac{2}{3}\boldsymbol{a} + \frac{2}{3}\boldsymbol{b} - \frac{1}{2}\boldsymbol{c} $

答案： 8.C 因为$G$是$\triangle ABC$的重心，所以$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=-\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}=-\frac{2}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}c$.由$OM = 2MA$，得$\overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$，所以$\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}-\frac{2}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}c=-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}c$.

9. (多选题，2024 山东青岛联考) 已知 $ M, A, B, C $ 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使 $ \{\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MC}\} $ 成为空间的一个基底的是 (AC)

A.$ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OC} $
B.$ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} $
C.$ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $
D.$ 6\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC} $

答案： 9.AC 对于A,C,D，由$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}(x + y + z = 1)$，可得$M,A,B,C$四点共面，即$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$共面，所以A中，$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$不共面，可以构成基底；C中，$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$不共面，可以构成基底；D中，因为$6\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$，所以$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$，可得$M,A,B,C$四点共面，即$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$共面，无法构成基底.对于B，根据共面向量定理，因为$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$，所以$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$共面，无法构成基底.