《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

1. (2024 江苏徐州期末)某射手每次射击击中目标的概率为 0.6,且各次射击的结果互不影响,则该射手射击 30 次恰有 18 次击中目标的概率为(B)

A.$ 0.6^{18} × 0.4^{12} $
B.$ \mathrm{C}_{30}^{18}0.6^{18} × 0.4^{12} $
C.$ \mathrm{C}_{30}^{18}0.4^{18} × 0.6^{12} $
D.$ \mathrm{C}_{30}^{18}0.6^{18} $

答案： 1. B 设X为射手在30次射击中击中目标的次数，则X$\sim$
B(30,0.6),故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为
$P(X = 18) = C_{30}^{18}0.6^{18} × 0.4^{12}$.

2. (2024 山西运城期中)已知随机变量 $ X \sim B(n, p) $. 若 $ E(X)=\frac{4}{3}, D(X)=\frac{8}{9} $, 则 $ P(X=1)= $(B)

A.$ \frac{2}{3} $
B.$ \frac{32}{81} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ \frac{4}{81} $

答案： 2. B 由题意得$E(X)=np=\frac{4}{3}$,$D(X)=np(1 - p)=\frac{8}{9}$,解
得$p = \frac{1}{3}$,$n = 4$,所以$P(X = 1) = C_{4}^{1} × \frac{1}{3} × (\frac{2}{3})^{3} = \frac{32}{81}$.

3. 有 8 件产品,其中 4 件是次品,从中有放回地取 3 次(每次 1 件),若 $ X $ 表示取得次品的次数,则 $ P(X \leq 2)= $(D)

A.$ \frac{3}{8} $
B.$ \frac{13}{14} $
C.$ \frac{4}{5} $
D.$ \frac{7}{8} $

答案： 3. D 因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率均为$\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.从中取3次，X为取得次品的次数，则X$\sim$
B$(3,\frac{1}{2})$,所以$P(X \leq 2)=P(X = 2)+P(X = 1)+P(X =$
$0)=C_{3}^{2} × (\frac{1}{2})^{2} × \frac{1}{2} + C_{3}^{1} × (\frac{1}{2})^{1} × (\frac{1}{2})^{2} + C_{3}^{0} ×(\frac{1}{2})^{3} = \frac{7}{8}$(也可以由$P(X \leq 2)=1 - P(X = 3)=1 -C_{3}^{3}(\frac{1}{2})^{3} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$求得).

4. (多选题,2024 河北唐山阶段调研)某日 A,B 两个沿海城市受台风袭击的概率均为 $ p $, 已知 A 市或 B 市至少有一个受台风袭击的概率为 0.36. 若用 $ X $ 表示这一天受台风袭击的城市个数,则(ABD)

A.$ p=0.2 $
B.$ P(X=0)=0.64 $
C.$ P(X=1)=0.16 $
D.$ E(X)=0.4 $

答案： 4. ABD 已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为
0.36,则$p^{2} + C_{2}^{1}p(1 - p)=0.36$,由$0 \leq p \leq 1$,解得$p = 0.2$,
故A正确;$P(X = 0)=(1 - 0.2)(1 - 0.2)=0.64$,故B正确;
$P(X = 1)=C_{2}^{1} × 0.2 × (1 - 0.2)=0.32$,故C错误;因为X$\sim$
B(2,0.2),所以$E(X)=2 × 0.2 = 0.4$,故D正确.
方法总结 利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其
实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发
生的概率的和，或者利用对立事件求概率.

5. (2023 辽宁葫芦岛期末)一个盒子里有大小、质地相同的 1 个红球、1 个绿球、2 个黄球,每次拿一个,记下颜色后放回,一共拿 4 次,设拿出黄球的次数为 $ \xi $, 则 $ P(\xi=0)= $\frac{1}{16}; $ E(\xi)= $2 .

答案： 5. $\frac{1}{16}$ 2 因为每次拿到黄球的概率为$p = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,所以$\xi\sim$
B$(4,\frac{1}{2})$,所以$P(\xi = 0)=C_{4}^{0} × (1 - \frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}$,$E(\xi)=4 ×$
$\frac{1}{2} = 2$.

6. (2024 河北邯郸期中)一只小虫从数轴上的原点出发爬行,若每次爬行过程中,小虫等概率地向左或向右爬行 1 个单位长度,设爬行 $ n $ 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 $ \xi_n $, 则 $ \frac{P(\xi_{2022}=0)}{P(\xi_{2022}=2)}= $\frac{1012}{1011} .

答案： 6. $\frac{1012}{1011}$ 由题意知，小虫向左或向右爬行1个单位长度的概率
为$\frac{1}{2}$.若$\xi_{2022} = 0$,则爬行2022次中，小虫一共向右爬行1011
次，向左爬行1011次，$P(\xi_{2022} = 0)=C_{2022}^{1011}(\frac{1}{2})^{2022}$.若$\xi_{2022} = 2$,
则爬行2022次中，小虫一共向右爬行1012次，向左爬行1010
次，$P(\xi_{2022} = 2)=C_{2022}^{1012}(\frac{1}{2})^{2022}$.故$\frac{P(\xi_{2022} = 0)}{P(\xi_{2022} = 2)} = \frac{1012}{1011}$.

7. (2023 山东德州期末)已知每门大炮击中目标的概率都是 0.5,现有 10 门大炮同时对某一目标各射击一次. 记恰好击中目标 3 次的概率为 $ A $, 若击中目标记 2 分, 记 10 门大炮总得分的期望值为 $ B $, 则 $ A, B $ 的值分别为(B)

A.$ \frac{15}{128}, 5 $
B.$ \frac{15}{128}, 10 $
C.$ \frac{15}{256}, 5 $
D.$ \frac{15}{256}, 10 $

答案： 7. B 设10门大炮击中目标的次数为X,则根据题意可得
X$\sim$B$(10,\frac{1}{2})$,所以10门大炮总得分的期望值$B = 10 ×$
$\frac{1}{2} × 2 = 10$,所以$A = P(X = 3)=C_{10}^{3} × (\frac{1}{2})^{3} × (1 -$
$\frac{1}{2})^{7} = \frac{15}{128}$.

8. 为了保障我国民众的身体健康,产品在进入市场前必须进行两轮检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售. 已知某产品第一轮检测不合格的概率为 $ \frac{1}{9} $, 第二轮检测不合格的概率为 $ \frac{1}{10} $, 两轮检测是否合格相互之间没有影响. 若产品可以销售,则每件产品获利 40 元; 若产品不能销售,则每件产品亏损 80 元. 已知一箱中有 4 件产品,记一箱产品获利 $ X $ 元, 则 $ P(X \geq -80)= $(C)

A.$ \frac{96}{625} $
B.$ \frac{256}{625} $
C.$ \frac{608}{625} $
D.$ \frac{209}{625} $

答案： 8. C 由题意得该产品能销售的概率为$(1 - \frac{1}{9})(1 - \frac{1}{10}) =$
$\frac{4}{5}$,易知X的取值范围是$\{ - 320, - 200, - 80,40,160\}$.设$\xi$
表示一箱产品中可以销售的件数，则$\xi\sim B(4,\frac{4}{5})$,所以
$P(\xi = k)=C_{4}^{k} · (\frac{4}{5})^{k} · (\frac{1}{5})^{4 - k}$,$k = 0,1,2,3,4$,所以
$P(X = - 80)=P(\xi = 2)=C_{4}^{2}(\frac{4}{5})^{2}(\frac{1}{5})^{2} = \frac{96}{625}$,$P(X =$
$40)=P(\xi = 3)=C_{4}^{3}(\frac{4}{5})^{3}(\frac{1}{5})^{1} = \frac{256}{625}$,$P(X = 160)=P(\xi =$
$4)=C_{4}^{4}(\frac{4}{5})^{4}(\frac{1}{5})^{0} = \frac{256}{625}$,故$P(X \geq - 80)=P(X = - 80)+$
$P(X = 40)+P(X = 160)=\frac{608}{625}$.

9. (多选题)已知一袋中有大小、质地相同的 4 个红球和 2 个白球,则下列结论正确的有(ABD)

A.从中任取 3 个球,恰有 1 个白球的概率是 $ \frac{3}{5} $
B.从中有放回地取球 6 次,每次任取 1 个球,则取到红球的次数的方差为 $ \frac{4}{3} $
C.现从中不放回地取球 2 次,每次任取 1 个球,则在第一次取到红球后,第二次再取到红球的概率为 $ \frac{2}{5} $
D.从中有放回地取球 3 次,每次任取 1 个球,则取到两次红球的概率为 $ \frac{4}{9} $

答案： 9. ABD 对于A,恰有1个白球的概率$P = \frac{C_{3}^{1}C_{3}^{2}}{C_{6}^{3}} = \frac{3}{5}$,故A正
确;对于B,每次任取1个球,取到红球的次数X$\sim B(6,\frac{2}{3})$,
则方差为$6 × \frac{2}{3} × (1 - \frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$,故B正确;对于C,设A为事件“第一次取到红球”,B为事件“第二次取到红球”,则$P(A)=\frac{2}{3}$,$P(AB)=\frac{C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{C_{6}^{1}C_{5}^{1}} = \frac{2}{5}$,所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{3}{5}$,故C错
误;对于D,每次取到红球的概率$p = \frac{2}{3}$,所以有放回地取球3
次,每次任取1个球,取到两次红球的概率为$C_{3}^{2}(\frac{2}{3})^{2} ×$
$(\frac{1}{3})^{1} = \frac{4}{9}$,故D正确.
易错警示 注意判断二项分布,判断依据:
(1)要看该试验是
不是在相同的条件下可以重复进行;
(2)每次试验相互独立,
互不影响;
(3)每次试验都只有两种结果,即事件发生、不
发生.