《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

10. (多选题)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,则下列说法错误的是 (ABD)

A.若每人都安排一项工作,则不同的方法数为$5^{4}$
B.若每人都要安排一项工作,每项工作至少有 1 人参加,则不同的方法数为$\mathrm{A}_{5}^{4}\mathrm{C}_{4}^{1}$
C.若每项工作至少有 1 人参加,甲、乙不会开车,但能从事其他三项工作,丙、丁、戊四项工作都能胜任,则这 5 名同学全部被安排的不同方法数是$\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{4}^{2}\mathrm{A}_{3}^{3}+\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{A}_{3}^{3}$
D.若司机工作不安排,其余三项工作至少安排 1 人,则这 5 名同学全部被安排的不同方法数为$(\mathrm{C}_{5}^{3}\mathrm{C}_{2}^{1}+\mathrm{C}_{5}^{2}\mathrm{C}_{3}^{2})\mathrm{A}_{3}^{3}$

答案： 10. ABD 对于A，若每人都安排一项工作，则每人有4种安排方法，则有$4^{5}$种安排方法，故A错误.对于B，根据题意，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，则有$C_{5}^{2}A_{4}^{4}$种安排方法，故B错误.对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出2人开车，则有$C_{3}^{2}A_{3}^{3}$种安排方法；②从丙、丁、戊中选出1人开车，则有$C_{3}^{1}A_{3}^{3}$种安排方法.则共有$C_{3}^{2}C_{2}^{2}A_{3}^{3} + C_{3}^{1}C_{2}^{1}A_{3}^{3}$种安排方法，故C正确.对于D，分2步分析：将5人分为3组，有$(\frac{C_{5}^{3}C_{2}^{1}}{A_{2}^{2}} + \frac{C_{5}^{1}C_{4}^{2}}{A_{2}^{2}})$种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有$A_{3}^{3}$种情况，则有$(\frac{C_{5}^{3}C_{2}^{1}}{A_{2}^{2}} + \frac{C_{5}^{1}C_{4}^{2}}{A_{2}^{2}})A_{3}^{3}$种安排方法，故D错误.

11. (2024 河北石家庄期末)如图,一只蚂蚁位于点 M 处,去搬运位于点 N 处的糖块,则 $M\to N$ 的最短路线有150 条.

答案：
11. 150 由题可知，$M \rightarrow N$的最短路线必经过A，B两点，则$M \rightarrow A$的最短路线有$C_{5}^{2}$种，$A \rightarrow N$的最短路线有$C_{5}^{2}$种；$M \rightarrow B$的最短路线有$C_{3}^{1}$种，$B \rightarrow N$的最短路线有$C_{5}^{3}$种.因为$M \rightarrow N$的最短路线有$M \rightarrow A \rightarrow N$和$M \rightarrow B \rightarrow N$，所以$M \rightarrow N$的最短路线有$C_{5}^{2}C_{5}^{2} + C_{3}^{1}C_{5}^{3} = 10 × 10 + 5 × 10 = 150$条.
　　　　　　　
方法总结：在求解路线最短问题时，一方面要确定到达目的地所需的最短步数，另一方面要确定在这些最短步数中横向所走的步数或纵向所走的步数，从而应用组合数的公式来求解.

12. 10 块相同的巧克力,每天至少吃一块,5 天吃完,有126 种方法;若 10 块相同的巧克力,每天至少吃一块,直到吃完为止又有512 种方法.(用数字作答)

答案： 12. 126 512 将10块巧克力排成一排，共有9个空格，要分成5份，只需4个隔板，所以共有$C_{9}^{4} = 126$种方法.由题意知，至多吃10天，至少吃1天.当1天吃完时，共有1 = $C_{9}^{0}$种方法；当2天吃完时，将10块巧克力排成一排，共有9个空格，分成2份，只需1个隔板，所以有$C_{9}^{1}$种方法；当3天吃完时，需要分成3份，只需2个隔板，所以有$C_{9}^{2}$种方法；当4天吃完时，需要分成4份，只需3个隔板，所以有$C_{9}^{3}$种方法……当10天吃完时，需要分成10份，只需9个隔板，所以有$C_{9}^{9}$种方法.综上，共有$C_{9}^{0} + C_{9}^{1} + C_{9}^{2} + C_{9}^{3} + ·s + C_{9}^{9} = 2^{9} = 512$种方法.
方法总结：相同元素分配问题(隔板法)：将$n$个相同的元素分给$m$个不同的对象（$n \geqslant m$），有$C_{n - 1}^{m - 1}$种方法，可描述为$(n - 1)$个空中插入$(m - 1)$块板.

13. 现有 4 本不同的书,按以下方式进行分配.
(1) 分成两堆,每堆 2 本,则有多少种分法?
(2) 分成两堆,一堆 3 本、一堆 1 本,则有多少种分法?
(3) 分给甲、乙两人,每人 2 本,则有多少种分法?
(4) 分给甲、乙两人,一人 3 本、一人 1 本,则有多少种分法?

答案： 13. 解：
(1)先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有$C_{4}^{2}C_{2}^{2}$种情况.由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以$A_{2}^{2}$去序.综上所述，不同分法的种数为$\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}} = \frac{6 × 1}{2} = 3$.
(2)先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有3本书，第2堆有1本书，则有$C_{4}^{3}C_{1}^{1}$种情况.由于这两堆书数量不同，因此确实有顺序.综上所述，不同分法的种数为$C_{4}^{3}C_{1}^{1} = 4 × 1 = 4$.
(3)先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有$C_{4}^{2}C_{2}^{2}$种情况.由于是4本不同的书，因此无需去序.综上所述，不同分法的种数为$C_{4}^{2}C_{2}^{2} = 6 × 1 = 6$.
(4)先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有3本书，第2堆有1本书，则有$C_{4}^{3}C_{1}^{1}$种情况.由于甲、乙两人一人3本书、一人1本书，因此甲和乙有差异，同时也有顺序差异，于是需要乘$A_{2}^{2}$.综上所述，不同分法的种数为$C_{4}^{3}C_{1}^{1}A_{2}^{2} = 4 × 1 × 2 = 8$.

14. (1) 求证:$\mathrm{C}_{n}^{m}=\frac{m + 1}{n - m}\mathrm{C}_{n}^{m + 1}$；
(2) 若 $m,n,r$ 均为正整数,试证明:$\mathrm{C}_{n + m}^{r}=\mathrm{C}_{n}^{0}\mathrm{C}_{m}^{r}+\mathrm{C}_{n}^{1}\mathrm{C}_{m}^{r - 1}+\mathrm{C}_{n}^{2}\mathrm{C}_{m}^{r - 2}+·s +\mathrm{C}_{n}^{r}\mathrm{C}_{m}^{0}$.

答案： 14. 证明：
(1)左边$= C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!}$，
右边$= \frac{m + 1}{n - m} · C_{n}^{m + 1} = \frac{m + 1}{n - m} · \frac{n!}{(m + 1)!(n - m - 1)!} = \frac{n!}{m!(n - m)!}$
所以$C_{n}^{m} = \frac{m + 1}{n - m}C_{n}^{m + 1}$.
(2)构造数学模型：$C_{n + m}^{r}$表示从$(n + m)$个不同元素中每次取$r$个元素的取法种数.
将$(n + m)$个不同元素分为两组，其中A组有$n$个元素，B组有$m$个元素，
从$(n + m)$个不同元素中每次取$r$个元素，可分类完成：
A组取0个，B组取$r$个，有$C_{n}^{0}C_{m}^{r}$种取法；
A组取1个，B组取$(r - 1)$个，有$C_{n}^{1}C_{m}^{r - 1}$种取法；
……
A组取$r$个，B组取0个，有$C_{n}^{r}C_{m}^{0}$种取法.
由加法原理知共有$C_{n}^{0}C_{m}^{r} + C_{n}^{1}C_{m}^{r - 1} + ·s + C_{n}^{r}C_{m}^{0}$种取法.
所以$C_{n + m}^{r} = C_{n}^{0}C_{m}^{r} + C_{n}^{1}C_{m}^{r - 1} + ·s + C_{n}^{r}C_{m}^{0}$.
方法总结：证明组合数的恒等式问题，通常有两种基本方法：
(1)应用组合数的计算公式通过变形转化加以证明；
(2)构造数学模型，通过“算两次”的方法计算同一数学对象加以证明.

15. 10 级台阶,青蛙一步可跳一级,可跳两级,也可跳三级. 当出现且只出现一步跳一级与一步跳两级两种跳步方法时,青蛙跳完台阶的方法数是87；当出现且只出现两种跳步方法时,青蛙 6 步就可跳完台阶的方法数是30.

答案： 15. 87 30 分析：要确定方法的总数，首先就得确定跳一级与跳两级或跳三级的步数，因此，采用方程的方法确定它们的步数.
设跳一级、两级的步数分别为$x$，$y$，$x$，$y \in N^{*}$，所以$x + 2y = 10$，出现且只出现一步跳一级与一步跳两级两种跳步方法，得$\begin{cases} x = 2, & y = 4 \\ x = 4, & y = 3 \\ x = 6, & y = 2 \\ x = 8, & y = 1 \end{cases}$所以青蛙跳完台阶的方法总数为$C_{6}^{1}C_{4}^{1} + C_{4}^{3}C_{3}^{0} + C_{2}^{2}C_{4}^{2} + C_{4}^{4} = 87$.
设跳三级的步数为$z$，$z \in N$，所以$\begin{cases} x + y + z = 6, \\ x + 2y + 3z = 10. \end{cases}$因为只出现两种跳步方法，所以$x$，$y$，$z$中有且仅有一个为0，所以$\begin{cases} x = 2, \\ y = 4, \\ z = 0 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 4, \\ y = 0, \\ z = 2, \end{cases}$所以青蛙跳6步就跳完台阶的方法总数为$C_{6}^{2} · C_{4}^{4} + C_{6}^{4} · C_{2}^{2} = 15 + 15 = 30$.