《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

15. 为了让人民群众度过一个平安健康、快乐祥和的新春佳节,甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销,直播年货活动,甲公司和乙公司所售商品类似,存在竞争关系.
(1) 若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物,第一天等可能地从中选择一个直播间购物. 如果第一天去甲直播间购物,那么第二天去甲直播间购物的概率为 0.7; 如果第一天去乙直播间购物,那么第二天去甲直播间购物的概率为 0.8. 求小李第二天去乙直播间购物的概率.
(2) 元旦期间,甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动,假设直播间每人下单成功的概率均为 $ p (0 ＜ p ＜ 1) $, 每人下单成功与否互不影响. 若从直播间中随机抽取 5 人,记 5 人中恰有 2 人下单成功的概率为 $ f(p) $, 求 $ f(p) $ 的最大值点 $ p_0 $.

答案： 15. 解:
(1)小李第二天去乙直播间的基本事件包括第一天去
甲直播间,第二天去乙直播间;第一天去乙直播间,第二天去乙
直播间,共有两种情况,
所以小李第二天去乙直播间购物的概率$P = 0.5 × (1 - 0.7) +$
$0.5 × (1 - 0.8)=0.25$.
(2)由题设,设5人中下单成功的人数为X,则X$\sim B(5,p)$,
所以$f(p)=C_{5}^{2}(1 - p)^{3}p^{2}=10(1 - p)^{3}p^{2}$,
所以$f^{\prime}(p)=10[-3(1 - p)^{2}p^{2} + 2p(1 - p)^{3}]=10p(1 - p)^{2} ·$
$(2 - 5p)$.
因为$0 ＜ p ＜ 1$,所以令$f^{\prime}(p)=0$,解得$p = \frac{2}{5}$.当$0 ＜ p ＜ \frac{2}{5}$
时,$f^{\prime}(p) ＞ 0$,当$\frac{2}{5} ＜ p ＜ 1$时,$f^{\prime}(p) ＜ 0$,所以$f(p)$在$(0,$
$\frac{2}{5})$上单调递增,在$(\frac{2}{5},1)$上单调递减,
所以$f(p)_{\max}=f(\frac{2}{5})$,即$p_{0} = \frac{2}{5}$.