《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

7. (多选题，2024浙江9+1联盟期中)有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1,2,3,4,5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字。持续这个过程，记前$ n $次所得的数字之和是偶数的概率为$ P_n $，则(AD)

A.$ P_2=\frac{13}{25} $
B.$ P_7＞P_8 $
C.$ \left\{P_n-\frac{1}{3}\right\} $是等比数列
D.$ \{P_{2n}\} $是递减数列

答案： 7. AD 对于A，由题意，得每次旋转指针指向数字为偶数的概率为$\frac{2}{5}$，指向数字为奇数的概率为$\frac{3}{5}$，则$P_{1} = \frac{2}{5}$．又$P_{n + 1} =$
$P_{n} × \frac{2}{5} + (1 - P_{n}) × \frac{3}{5} = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}P_{n}$，所以$P_{2} = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}P_{1} =$
$\frac{13}{25}$，故A正确．由$P_{n + 1} = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}P_{n}$，变形可得$P_{n + 1} - \frac{1}{2} =$
$- \frac{1}{5} · (P_{n} - \frac{1}{2})$，$P_{1} = \frac{2}{5}$，则$P_{1} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{10}$，故数列$\{ P_{n} -$
$\frac{1}{2}\}$是首项为$- \frac{1}{10}$，公比为$- \frac{1}{5}$的等比数列，故$P_{n} - \frac{1}{2} =$
$( - \frac{1}{10}) × ( - \frac{1}{5})^{n - 1} = \frac{1}{2} × ( - \frac{1}{5})^{n}$，所以$P_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} ×$
$( - \frac{1}{5})^{n}$．对于B，$P_{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} × ( - \frac{1}{5}) ＜ \frac{1}{2}$，$P_{8} = \frac{1}{2} +$
$\frac{1}{2} × ( - \frac{1}{5})^{8} ＞ \frac{1}{2}$，则$P_{7} ＜ P_{8}$，故B错误．对于C，$P_{n} - \frac{1}{3} =$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} × ( - \frac{1}{5})^{n} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} × ( - \frac{1}{5})^{n}$，此时$P_{1} -$
$\frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{1}{15}$，$P_{1} - \frac{1}{3} = \frac{14}{75}$，$P_{3} - \frac{1}{3} = \frac{61}{375}$，而$(\frac{14}{75})^{2} \neq \frac{1}{15} × \frac{61}{375}$，所
以数列$\{ P_{n} - \frac{1}{3}\}$不是等比数列，故C错误．对于D，$P_{2n} =$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} × ( - \frac{1}{5})^{2n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} × (\frac{1}{25})^{n}$，由于$P_{2n + 2} - P_{2n} =$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} × (\frac{1}{25})^{n + 1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} × (\frac{1}{25})^{n} ＜ 0$，故$\{ P_{2n}\}$是递减数
列，故D正确.

8. (多选题，2023江苏泰州期中)某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登录，且每次只能随机选择一个开启。已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为$ \frac{1}{4} $，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为$ \frac{1}{2} $；若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为$ \frac{1}{3} $。记玩家第$ n $次抽盲盒抽中奖品的概率为$ P_n $，则下列结论正确的是(BC)

A.$ P_2=\frac{5}{6} $
B.数列$ \left\{P_n-\frac{3}{7}\right\} $为等比数列
C.$ P_n\leq\frac{11}{24} $
D.当$ n\geq2 $时，$ n $越大，$ P_n $越小

答案： 8. BC 对于A，$P_{2} = \frac{1}{4} × \frac{1}{3} + \frac{3}{4} × \frac{1}{2} = \frac{11}{24}$，故A错误；对于
B，因为$P_{n} = \frac{1}{3}P_{n - 1} + \frac{1}{2}(1 - P_{n - 1}) = - \frac{1}{6}P_{n - 1} + \frac{1}{2}$，所以$P_{n} - \frac{3}{7} = - \frac{1}{6}(P_{n - 1} - \frac{3}{7})$，又$P_{1} - \frac{3}{7} = - \frac{5}{28}$，所以数列
$\{ P_{n} - \frac{3}{7}\}$是以$- \frac{5}{28}$为首项，$- \frac{1}{6}$为公比的等比数列，故B正
确；对于C，由B得$P_{n} - \frac{3}{7} = - \frac{5}{28} · ( - \frac{1}{6})^{n - 1}$，所以$P_{n} =$
$\frac{3}{7} - \frac{5}{28} · ( - \frac{1}{6})^{n - 1}$，当$n$为奇数时，$\frac{5}{28} × ( - \frac{1}{6})^{n - 1} = \frac{5}{28} ×$
$( \frac{1}{6})^{n - 1} ＞ 0$，所以$P_{n} ＜ \frac{3}{7}$，当$n$为偶数时，$P_{n} = \frac{3}{7} - \frac{5}{28} ×$
$( - \frac{1}{6})^{n - 1} = \frac{3}{7} + \frac{5}{28} × (\frac{1}{6})^{n - 1} \leq \frac{3}{7} + \frac{5}{28} × \frac{1}{6} = \frac{11}{24}$，因为
$\frac{11}{24} ＞ \frac{3}{7}$，所以$P_{n} \leq \frac{11}{24}$，故C正确；对于D，由C中结论可知，
$\{ P_{n}\}$是摆动数列，故D错误.
解后反思 本题考查概率与数列的综合应用问题，解题关键
是能够根据题意确定$P_{n - 1}$与$P_{n}$所满足的递推关系式，从而
利用数列求通项的方法，根据递推关系式构造出等比数列求
解出$P_{n}$．

9. (2024浙江杭州期中)“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动。在如图所示的试验容器中，容器由两个仓组成，某粒子做布朗运动时，每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束。已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为$\boldsymbol{$\frac{3}{4}$}$。

答案： 9. $\frac{3}{4}$ 设从$i$号仓出发最终从$1$号仓出的概率为$P_{i}$，所以$\begin{cases} P_{1} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}P_{2}, \\P_{2} = \frac{1}{3}P_{1} + 0, \end{cases}$
解得$P_{1} = \frac{3}{4}$．

10. 某学校有A，B两家餐厅，小明第一天随机选一家餐厅用餐，如果前1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果前1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8。小明第$ n $天去A餐厅的概率为$\boldsymbol{$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} × ( - \frac{1}{5})^{n}$}$。

答案： 10. $\frac{2}{3} + \frac{5}{6} × ( - \frac{1}{5})^{n}$ 设小明第一天去A餐厅的概率为$a_{1}$，第$n$天去A餐厅的概率为$a_{n}$，则$a_{1} = \frac{1}{2}$，由题意可得$a_{n} = - \frac{1}{5}a_{n - 1} + \frac{4}{5}$，故$a_{n} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{5}(a_{n - 1} - \frac{2}{3})$，所以$\{ a_{n} - \frac{2}{3}\}$是首项为$a_{1} - \frac{2}{3} =$
$- \frac{1}{6}$，公比为$- \frac{1}{5}$的等比数列，则$a_{n} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{6} ×$
$( - \frac{1}{5})^{n - 1}$，即$a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} × ( - \frac{1}{5})^{n}$．

11. (2023江苏淮安六校联盟联考)有$ n $个编号分别为1，2，…，$ n $的盒子，第1个盒子中有2个白球、1个黑球，其余盒子中均为1个白球、1个黑球。现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是$\boldsymbol{$\frac{5}{9}$}$，从第$ n $个盒子中取到白球的概率是$\boldsymbol{$\frac{1}{2} × (\frac{1}{3})^{n} + \frac{1}{2}$}$。

答案： 11. $\frac{5}{9} × \frac{1}{2} × (\frac{1}{3})^{n} + \frac{1}{2}$ 记事件$A_{i}$表示从第$i(i = 1,2,$
$·s,n)$个盒子里取出白球，则$P(A_{1}) = \frac{2}{3}$，$P(\overline{A}_{1}) = 1 -$
$P(A_{1}) = \frac{1}{3}$，所以$P(A_{2}) = P(A_{1}A_{2}) + P(\overline{A}_{1}A_{2}) =$
$P(A_{1})P(A_{2}|A_{1}) + P(\overline{A}_{1})P(A_{2}|\overline{A}_{1}) = \frac{2}{3} × \frac{2}{3} + \frac{1}{3} × \frac{1}{3} =$
$\frac{5}{9}$．$P(A_{n}) = P(A_{n - 1}A_{n}) + P(\overline{A}_{n - 1}A_{n}) = P(A_{n - 1}) ·$
$P(A_{n}|A_{n - 1}) + P(\overline{A}_{n - 1})P(A_{n}|\overline{A}_{n - 1}) = \frac{2}{3}P(A_{n - 1}) + \frac{1}{3} ×$
$\lbrack1 - P(A_{n - 1})\rbrack = \frac{1}{3}P(A_{n - 1}) + \frac{1}{3}$，即$P(A_{n}) - \frac{1}{2} =$
$\frac{1}{3}\lbrack P(A_{n - 1}) - \frac{1}{2}\rbrack$．又$P(A_{1}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$，所以$\{ P(A_{n}) - \frac{1}{2}\}$
是首项为$\frac{1}{6}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，所以$P(A_{n}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} ×$
$(\frac{1}{3})^{n - 1} = \frac{1}{2} × (\frac{1}{3})^{n}$，即$P(A_{n}) = \frac{1}{2} × (\frac{1}{3})^{n} + \frac{1}{2}$．

12. (2023广东广州期末)某情报站有A，B，C，D，E五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周没有使用的四种密码中等可能地随机选用一种。设第一周使用A密码，$ P_k $表示第$ k $周使用A密码的概率。
(1) 求$ P_1 $，$ P_2 $，$ P_3 $，$ P_4 $。
(2) 求证：$ \left\{P_k-\frac{1}{5}\right\} $为等比数列，并求$ P_k $的表达式。

答案：
(1) 解：$P_{1} = 1,P_{2} = 0,P_{3} = \frac{1}{4}$，
$P_{4} = (1 - P_{3}) × \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$．
(2) 证明：若第$k + 1$周使用A密码，则第$k$周必不使用A密码
（概率为$1 - P_{k}$），第$k + 1$周从剩下的四种密码中随机选用一
种，恰好选到A密码的概率为$\frac{1}{4}$，
所以$P_{k + 1} = \frac{1}{4}(1 - P_{k})$，即$P_{k + 1} - \frac{1}{5} = - \frac{1}{4}(P_{k} - \frac{1}{5})$，
$P_{1} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$，
所以$\{ P_{k} - \frac{1}{5}\}$是以$\frac{4}{5}$为首项，$- \frac{1}{4}$为公比的等比数列，
所以$P_{k} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} × ( - \frac{1}{4})^{k - 1}$，即$P_{k} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} × ( - \frac{1}{4})^{k - 1}$．