《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

9. (多选题,2024 广东茂名期末)掷一枚质地均匀的骰子两次,记向上的点数分别为$m,n$,记事件$A=$“$m+n\gt 9$”,事件$B=$“$mn$为偶数”,事件$C=$“$m+n$为奇数”,则(AC)

A.$P(A)=\frac{1}{6}$
B.$P(A|B)=\frac{1}{5}$
C.$P(A|C)=\frac{1}{9}$
D.事件$B$与$C$互斥

答案： 9. AC 掷一枚质地均匀的骰子两次的可能结果共有36种.事件A=“$m + n ＞ 9$”的可能结果有6种，即$A=\{(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)\}$，所以$P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$，故选项A正确；事件B=“$mn$为偶数”的可能结果有$C_{3}^{1}· C_{3}^{1}+C_{3}^{1}· C_{3}^{1}=27$种，事件$AB$=“$mn$为偶数且$m + n ＞ 9$”的可能结果有5种，所以$P(A|B)=\frac{n(AB)}{n(B)}=\frac{5}{27}$，故选项B错误；事件C=“$m + n$为奇数”的可能结果有$C_{3}^{1}· C_{3}^{1}· C_{2}^{1}=18$种，事件$AC$=“$m + n$为奇数且$m + n ＞ 9$”的可能结果有2种，所以$P(A|C)=\frac{n(AC)}{n(C)}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$，故选项C正确；当样本点为(3,4)时，B和C同时发生，所以B与C不互斥，故选项D错误.

10. (多选题,2024 湖南常德第一中学月考)将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动,每个村庄至少派1名医生,事件$A$表示“医生甲派往①村庄”;事件$B$表示“医生乙派往①村庄”;事件$C$表示“医生乙派往②村庄”,则(BD)

A.事件$A$与$B$相互独立
B.事件$A$与$C$不相互独立
C.$P(B|A)=\frac{5}{12}$
D.$P(C|A)=\frac{5}{12}$

答案： 10. BD 将甲、乙、丙、丁4名医生派往①②③三个村庄义诊有$3^{4}A_{3}^{3}=36$个基本事件，事件A含有的基本事件数为$A_{3}^{3}+C_{3}^{1}A_{2}^{2}=12$，则$P(A)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$，同理$P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$，事件AB含有的基本事件数为$A_{2}^{2}=2$，则$P(AB)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$，事件AC含有的基本事件数为$C_{2}^{1}+C_{2}^{1}C_{1}^{1}=5$，则$P(AC)=\frac{5}{36}$.对于A，$P(A)P(B)=\frac{1}{9}\neq P(AB)$，即事件A与B不相互独立，故A错误；对于B，$P(A)P(C)=\frac{1}{9}\neq P(AC)$，即事件A与C不相互独立，故B正确；对于C，$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{6}$，故C错误；对于D，$P(C|A)=\frac{P(AC)}{P(A)}=\frac{5}{12}$，故D正确.

11. (2024 辽宁沈阳期末)端午节期间,小王、小李、小张和小刘四人分别计划去游玩,现有三个出游的景点:沈阳故宫、张学良旧居、辽宁大剧院.假设每人随机选择一处景点,在至少有两人去沈阳故宫的条件下有人去辽宁大剧院的概率为$\frac{2}{3}$.

答案： 11. $\frac{2}{3}$ 设至少两人去沈阳故宫为事件A，事件A的情况有三种，分别为两人去、三人去、四人去，则$P(A)=\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{2}+C_{4}^{3}×2+C_{4}^{4}}{3^{4}}=\frac{33}{81}$.设至少两人去沈阳故宫且有人去辽宁大剧院为事件B，则$P(B)=\frac{C_{4}^{2}×3+C_{4}^{3}}{3^{4}}=\frac{22}{81}$，所以在至少有两人去沈阳故宫的条件下有人去辽宁大剧院的概率为$\frac{\frac{22}{81}}{\frac{33}{81}}=\frac{2}{3}$.

12. (2024 江苏常州期中)已知随机事件$A,B$,$P(A)=P(B|A)=\frac{1}{2}$,$P(B)=\frac{1}{3}$,则$P(AB)=$$\frac{1}{4}$$$,$P(A|\overline{B})=$$\frac{3}{8}$$$.

答案： 12. $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{8}$ 由概率的乘法公式得$P(AB)=P(B|A)P(A)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.因为$P(B)=1 - P(\overline{B})=\frac{2}{3}$，$P(AB)=\frac{1}{4}$，所以$P(AB)=P(A)-P(\overline{A}B)=\frac{1}{4}$，所以由条件概率公式得$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{8}$.

13. 在某次抽奖活动中,在甲、乙两人先后进行抽奖前,还有20张奖券,其中共有3张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回,甲抽完之后乙再抽,求:
(1) 甲中奖且乙也中奖的概率;
(2) 甲没中奖但乙中奖的概率.

答案： 13. 解：
(1)设事件A表示“甲中奖”，事件B表示“乙中奖”，则$P(A)=\frac{3}{20}$.
因为抽完的奖券不放回，所以当甲中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有2张写有“中奖”字样，所以乙中奖的概率为$P(B|A)=\frac{2}{19}$，所以甲中奖且乙也中奖的概率为$P(AB)=P(A)P(B|A)=\frac{3}{20}×\frac{2}{19}=\frac{3}{190}$.
(2)$P(A)=1 - P(\overline{A})=\frac{17}{20}$.
因为抽完的奖券不放回，所以当甲没中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有3张写有“中奖”字样，所以乙中奖的概率为$P(B|\overline{A})=\frac{3}{19}$，所以甲没中奖但乙中奖的概率为$P(AB)=P(A)P(B|\overline{A})=\frac{17}{20}×\frac{3}{19}=\frac{51}{380}$.

14. (2024 山东聊城第一中学期中)某校从学生文艺部7名成员(4男3女)中,挑选2人参加学校举办的文艺会演活动.
(1) 求男生甲被选中的概率;
(2) 在已知男生甲被选中的条件下,求女生乙被选中的概率;
(3) 在已知被选中的2人为一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.

答案： 14. 解：
(1)从7名成员中挑选2人，共有$C_{7}^{2}=21$种情况.
记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的基本事件数为$C_{6}^{1}=6$，故$P(A)=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$.
(2)记“女生乙被选中”为事件B，则$P(AB)=\frac{1}{21}$，且由
(1)知$P(A)=\frac{2}{7}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{6}$.
(3)记“挑选的2人为一男一女”为事件C，事件C所包含的基本事件数为$C_{4}^{1}C_{3}^{1}=12$，则$P(C)=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$，$P(BC)=\frac{C_{4}^{1}}{21}=\frac{4}{21}$，故$P(B|C)=\frac{P(BC)}{P(C)}=\frac{\frac{4}{21}}{\frac{4}{7}}=\frac{1}{3}$.

15. (2024 河北张家口期末)在不透明的盒子中有8个相同的乒乓球,球上标有数字1,2,3,…,8,有放回地随机抽取两次(每次抽取1个球),记下球上的数字$a,b$,即$N(a,b)$.已知原点$O(0,0)$和点$M(1,-1)$,记事件$A=$“$\angle MON$是锐角”,事件$B=$“$\triangle MON$是锐角三角形”.求在事件$A$发生的条件下事件$B$发生的概率$P(B|A)$.

答案：
15. 解：a，b都有8个数字可取，有放回地随机抽取两次(每次抽取1个球)，共有$8×8=64$种取法.设直线l与直线OM垂直，且过原点.因为$k_{OM}=-1$，所以直线l：$y = x$.
共64个点中，有8个落在直线$y = x$上，剩余56个点中，一半在直线$y = x$上方，一半在直线$y = x$下方，要想$\angle MON$是锐角，则点N应在直线$y = x$下方，其中满足要求的点有28个，故$P(A)=\frac{28}{64}=\frac{7}{16}$.

与l：$y = x$平行且过点M的直线m的方程为$y = x - 2$.
若$\triangle MON$是锐角三角形，则点N落在直线l：$y = x$与直线m：$y = x - 2$之间，根据点的坐标特征可知，点N应在直线$y = x - 1$上，满足要求的点有(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，共7个，所以$P(B)=P(AB)=\frac{7}{64}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{7}{64}}{\frac{7}{16}}=\frac{1}{4}$.