《2025年小题狂做高中数学选择性必修第二册苏教版》

1. (2024 四川凉山期中)对于任意空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$，下列说法正确的是 (B)

A.若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$且$\boldsymbol{b}//\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{c}$
B.$\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}$
C.若$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}$，且$\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{0}$，则$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$
D.$(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c})$

答案： 1. B 对于$\boldsymbol{A}$，若$\boldsymbol{b}=0$，则$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$且$\boldsymbol{b} // \boldsymbol{c}$，不能得到$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{c}$，故A错误；对于B，$\boldsymbol{a} · (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} · \boldsymbol{c}$，故B正确；对于C，若$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} · \boldsymbol{c}$，且$\boldsymbol{a} \neq 0$，则$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{c}|\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle$，则$|\boldsymbol{b}|\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = |\boldsymbol{c}|\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle$，无法得出$\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}$，故C错误；对于D，$(\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$表示与$\boldsymbol{c}$共线的向量，而$\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b} · \boldsymbol{c})$表示与$\boldsymbol{a}$共线的向量，所以$(\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$与$\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b} · \boldsymbol{c})$不一定相等，故D错误。

2. (2024 北京房山期末)在棱长为 2 的正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$\overrightarrow{AA_1}·\overrightarrow{BC_1}=$(D)

A.$2\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$2$
D.$4$

答案： 2. D 在棱长为2的正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，易知$|\overrightarrow{AA_1}| = 2$，$|\overrightarrow{BC_1}| = 2\sqrt{2}$。因为$\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}$，$\overrightarrow{BB_1}$与$\overrightarrow{BC_1}$的夹角为$\frac{\pi}{4}$，所以$\overrightarrow{AA_1}$与$\overrightarrow{BC_1}$的夹角为$\frac{\pi}{4}$。
所以$\overrightarrow{AA_1} · \overrightarrow{BC_1} = |\overrightarrow{AA_1}||\overrightarrow{BC_1}|\cos\frac{\pi}{4} = 2 × 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$。
方法总结：
1. 空间向量数量积运算的两种方法
(1) 利用定义：利用$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$并结合运算律进行计算。
(2) 利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一起点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算。
2. 求空间向量数量积的步骤
(1) 将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式。
(2) 利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积。
(3) 代入$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$求解。

3. (2024 山东烟台联考)已知空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}| = 3$，$|\boldsymbol{c}|=\sqrt{7}$且$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角大小为 (C)

A.$30°$
B.$60°$
C.$120°$
D.$150°$

答案： 3. C 由题意设$\boldsymbol{c} = -(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$，则$\boldsymbol{c}^2 = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})^2 = \boldsymbol{a}^2 + 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b}^2 = 4 + 2 × 2 × 3 × \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle + 9 = 7$，所以$\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = -\frac{1}{2}$。又$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \in [0,\pi]$，所以$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = \frac{2\pi}{3}$，即$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = 120^{\circ}$。
方法总结：求向量的夹角
由两个向量的数量积的定义得$\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = \frac{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$，求$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$的余弦值，进而得出$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$的大小。

4. (多选题，2024 河北邢台阶段检测)设$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列说法正确的是 (BD)

A.$(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}-(\boldsymbol{c}·\boldsymbol{a})\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$
B.$|\boldsymbol{a}|^2=\boldsymbol{a}^2$
C.$\boldsymbol{a}^2·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}^2·\boldsymbol{a}$
D.$(3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})·(3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}) = 9\boldsymbol{a}^2 - 4\boldsymbol{b}^2$

答案： 4. BD 因为数量积不满足结合律，所以A错误；由数量积的性质可知B正确，C中结论一定不成立，D运算正确。

5. (2024 山东泰安期中)如图，在棱长为 1 的正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{A_1C_1}$方向上的投影向量的模是$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： 5. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 在棱长为1的正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{A_1C_1}$的夹角为$45^{\circ}$，所以$\frac{\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{A_1C_1}}{|\overrightarrow{A_1C_1}|} = |\overrightarrow{AB}| · \frac{\overrightarrow{A_1C_1}}{|\overrightarrow{A_1C_1}|} × \cos\langle\overrightarrow{A_1C_1},\overrightarrow{AB}\rangle = 1 × \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{A_1C_1}$方向上的投影向量是$\frac{\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{A_1C_1}}{|\overrightarrow{A_1C_1}|} × \frac{\overrightarrow{A_1C_1}}{|\overrightarrow{A_1C_1}|} = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\overrightarrow{A_1C_1}}{|\overrightarrow{A_1C_1}|}$，向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{A_1C_1}$方向上的投影向量的模是$\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{|\overrightarrow{A_1C_1}|}{|\overrightarrow{A_1C_1}|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
方法总结：在空间中，向量$\boldsymbol{a}$向向量$\boldsymbol{b}$投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量$\boldsymbol{b}$共线的向量$\boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{c} = |\boldsymbol{a}|\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$，则向量$\boldsymbol{c}$称为向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{b}$上的投影向量。同理向量$\boldsymbol{b}$在向量$\boldsymbol{a}$上的投影向量是$|\boldsymbol{b}|\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$。

6. (2024 广东深圳福田联考)已知空间向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$|\boldsymbol{a}| = 3\sqrt{2}$，$|\boldsymbol{b}| = 5$，$\boldsymbol{m}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{n}=\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$，$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = 135°$。若$\boldsymbol{m}\perp\boldsymbol{n}$，则$\lambda$的值为$-\frac{3}{10}$。

答案： 6. $-\frac{3}{10}$ 因为$m \perp n$，所以$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}) = 0$，所以$\boldsymbol{a}^2 + (\lambda + 1)\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + \lambda\boldsymbol{b}^2 = 0$，即$18 + (\lambda + 1) × 15\sqrt{2} × (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 25\lambda = 0$，故$\lambda = -\frac{3}{10}$。

7. (2024 浙江温州期中)已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$均为空间单位向量，它们的夹角为$60°$，那么$|\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}|=$(C)

A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{13}$
D.$4$

答案： 7. C 由题意可得$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos 60^{\circ} = 1 × 1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，所以$|\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}| = \sqrt{(\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b})^2} = \sqrt{\boldsymbol{a}^2 + 9\boldsymbol{b}^2 + 6\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}} = \sqrt{1 + 9 + 3} = \sqrt{13}$。
方法总结：求向量的模
(1) 求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{\boldsymbol{a}^2}$，计算出$|\boldsymbol{a}|$，即得所求长度(距离)。
(2) 线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)。
(3) 应牢记并能熟练应用的公式
$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})^2} = \sqrt{|\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2}$
$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}| = \sqrt{(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})^2} = \sqrt{|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{c}|^2 + 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{c} + 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + 2\boldsymbol{b} · \boldsymbol{c}}$。

8. (2024 上海崇明期末)在正四棱柱$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，底面边长$AB = 1$，$AA_1=\sqrt{2}$，$P$是正四棱柱表面上一动点，则$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PC_1}$的取值范围是 (B)

A.$\left[-\frac{1}{2},0\right]$
B.$\left[-\frac{3}{4},0\right]$
C.$\left[-\frac{1}{2},1\right]$
D.$\left[-\frac{3}{4},1\right]$

答案：
8. B 取$AC_1$的中点$O$，则$\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PC} = (\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OA}) · (\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OC}) = (\overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OA}) · (\overrightarrow{PO} - \overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{PO}^2 - \overrightarrow{OA}^2$。当$P$为侧面中心时，$|\overrightarrow{PO}|_{min} = \frac{1}{2}$，$PO$的最大值为体对角线$AC_1$长的一半，即$|\overrightarrow{PO}|_{max} = \frac{1}{2}\sqrt{1 + 1 + 2} = 1$。又$|\overrightarrow{OA}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AC_1}| = \frac{1}{2} × 2 = 1$，所以$\overrightarrow{PO}^2 - \overrightarrow{OA}^2 \in [-\frac{3}{4},0]$，即$\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PC}$的取值范围是$[-\frac{3}{4},0]$。

9. (多选题，2024 安徽池州月考) 已知平行六面体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$如图所示，其中$AB = BC = 2$，$AA_1 = 3$，$\angle BAD = \angle A_1AD = \angle BAA_1 = 60°$，$AC$，$BD$交于点$O$，$E$是线段$AA_1$上靠近点$A_1$的三等分点，则下列说法正确的是 (AD)

A.$\overrightarrow{EO}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AA_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
B.$\overrightarrow{EC_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
C.$|\overrightarrow{EO}| = 3$
D.$\overrightarrow{EC_1}·\overrightarrow{AA_1}=9$

答案： 9. AD $\overrightarrow{EO} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AO} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，故A正确；$\overrightarrow{EC_1} = \overrightarrow{EA_1} + \overrightarrow{A_1C_1} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$，故B错误；$|\overrightarrow{EO}|^2 = (-\frac{2}{3}\overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD})^2 = \frac{4}{9}|\overrightarrow{AA_1}|^2 + \frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^2 + \frac{1}{4}|\overrightarrow{AD}|^2 - \frac{2}{3}\overrightarrow{AA_1} · \overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AA_1} · \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD} = 4 + 1 + 1 - \frac{2}{3} × 3 × 2 × \frac{1}{2} - \frac{2}{3} × 3 × 2 × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} × 2 × 2 × \frac{1}{2} = 3$，则$|\overrightarrow{EO}| = \sqrt{3}$，故C错误；$\overrightarrow{EC_1} · \overrightarrow{AA_1} = (\frac{1}{3}\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) · \overrightarrow{AA_1} = \frac{1}{3}|\overrightarrow{AA_1}|^2 + \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AA_1} = \frac{1}{3} × 9 + 3 + 3 = 9$，故D正确。