《2025年期末直通车七年级数学上册人教版》

23. (10 分)综合与实践
【提出问题】
我们知道,数轴上表示数 a 的点与原点的距离可以用|a|来表示. 那么,数轴上任意两点间的距离又该如何表示呢?
【观察比较】
(1) 如图,点 A,B,C,D 在数轴上对应的数分别为-4,-1,3,10,通过观察:请写出以下两点间的距离(即线段的长度):AB = 3;AC = 7;BD = 11.(3 分)
【分析归纳】
(2) 请你再举些例子,分析两点间的距离与表示这两个点的数之间的关系,类比绝对值的表示,可归纳出:数轴上表示数 a 与数 b 的两点间的距离可用③来表示.(填序号)(2 分)
①a - b
②a + b
③|a - b|
④|a + b|
【迁移应用】
(3) 在(1)的前提下,点 A,点 D 同时向右运动,点 A 的速度为每秒 4 个单位长度,点 D 的速度为每秒 a 个单位长度. 设运动时间为 t 秒,同时停止时点 A,点 D 分别记为点 A',点 D'.
①当 a = 2,t = 6 时,求点 A'与点 D'的距离.(2 分)
②当 a＞4 时,若经过 t 秒后点 A'与点 D'相距 32 个单位长度,求经过 4t 秒后点 A'与点 D'的距离.(3 分)

答案： 23.解：
(1)3 7 11
(2)③
(3)①由题意得：点A'表示的数为-4+4t，点D'表示的数为10+at，当a=2，t=6时，点A'与点D'的距离为|-4+4×6-(10+at)|=|-4+24-10-12|=2.
②因为经过t秒后点A'表示的数为-4+4t，点D'表示的数为10+at，a＞4，所以10+at＞-4+4t，因为经过t秒后点A'与点D'相距32个单位长度，所以10+at-(-4+4t)=32，at-4t=32-14，(a-4)t=18，因为经过4t秒后点A'表示的数为-4+4×4t，点D'表示的数为10+a·4t，a＞t，所以4t秒后点A'与D'的距离为10+4at-(-4+16t)=14+4(a-4)t=14+4×18=86.