《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 4
质量 $ M = 1 × 10^3 \, kg $ 的密封车厢在水平面上运动，车厢底面水平。车厢内一乘客试图通过车厢内的实验研究车厢的运动。他在车厢底面上建立坐标系 $ xOy $，使质量 $ m = 5 \, kg $ 的物块从原点 $ O $ 开始运动，在 $ t = 0 \sim 15 \, s $ 内的速度 - 时间图像如图所示。已知物块与车厢间的摩擦因数 $ \mu = 0.2 $，重力加速度 $ g = 10 \, m/s^2 $。在地面上建立静止坐标系 $ x'O'y' $，$ x' $ 轴、$ y' $ 轴分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴平行，求在 $ t = 0 \sim 15 \, s $ 内车厢在 $ x' $ 轴方向上受到的冲量。

 

答案： 车厢在$x'$轴方向受到的冲量计算过程：
1. 物块相对车厢的加速度积分：
物块相对车厢在$x$轴方向的加速度积分等于其相对速度变化量，即$\int_0^{15}a_x dt = v_{15x} - v_{0x} = -0.4 \, m/s$（末速度$v_{15x}=-0.4 \, m/s$，初速度$v_{0x}=0$）。
2. 摩擦力方向分量积分：
$0 \sim 10 \, s$：物块做直线运动，相对速度方向与$y$轴夹角$\theta$恒定，$\sin\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$，积分$\int_0^{10}\sin\theta dt = 10 × \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}}$。
$10 \sim 15 \, s$：物块做匀变速曲线运动，$\sin\theta$从$\frac{2}{\sqrt{5}}$线性变为$-\frac{2}{\sqrt{5}}$，积分$\int_{10}^{15}\sin\theta dt = 0$。
总积分$\int_0^{15}\sin\theta dt = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5} \, s$。
3. 冲量计算：
车厢在$x'$方向的冲量$I'_x = -M\int_0^{15}a_x dt - \mu Mg\int_0^{15}\sin\theta dt$。
代入数据：$M=1 × 10^3 \, kg$，$\mu=0.2$，$g=10 \, m/s^2$，$\int a_x dt=-0.4 \, m/s$，$\int \sin\theta dt=4\sqrt{5} \, s$。
得$I'_x = -10^3 × (-0.4) - 0.2 × 10^3 × 10 × 4\sqrt{5} \approx 400 - 17888 \approx -1.75 × 10^4 \, N·s$。
最终结论：
$I'_x = -1.75 × 10^4 \, N·s$，方向沿$x'$轴负方向。
$\boxed{-1.75 × 10^4 \, N·s}$