《2025年物理竞赛教程高中物理》

3 将一根长约$100\mathrm{cm}$的均匀弦线沿水平的$x$轴放置，拉紧并使其两端固定。现对离固定的右端$25\mathrm{cm}$处（取该处为原点$O$）的弦上施加一个沿垂直于弦线方向（即$y$轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图（1）所示。该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波），已知波在弦线中的传播速度为$2.5\mathrm{cm}/\mathrm{s}$，波在传播和反射过程中都没有能量损失。
（1）试在图（2）中准确地画出自$O$点沿弦向右传播的波在$t = 2.5\mathrm{s}$时的波形图。
（2）该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播，反射点总是不动的。这可以看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加，使反射点的位移始终为零。由此观点出发，试在图（2）中准确地画出$t = 12.5\mathrm{s}$时的波形图。
（3）在图（2）中准确地画出$t = 10.5\mathrm{s}$时的波形图。

答案： （1）波形为向右传播的三角形脉冲，范围0≤x≤6.25cm。关键点：(0,0.05cm)、(1.25cm,0.10cm)、(6.25cm,0)，用直线连接。
（2）波形为向左传播的反射波（三角形脉冲），范围18.75cm≤x≤25cm。关键点：(18.75cm,0)、(23.75cm,-0.10cm)、(25cm,0)，用直线连接。
（3）波形为入射波与反射波叠加，范围18.75cm≤x≤25cm。关键点：(18.75cm,0)、(21.25cm,0.10cm)、(23.75cm,0.05cm)、(25cm,0)，用直线连接。

4 如图所示，质量为$M$、足够长的长方形木板静止于光滑的水平地面上，左端与劲度系数为$k$的水平轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上。木板上面有一个质量为$m$的物块。$t = 0$时，木板静止，物块以一定的初速度开始向右运动。已知物块与木板间的摩擦因数为$\mu$。
（1）证明物块相对木板向右滑动的过程中木板的运动是简谐运动，并求该简谐运动的振幅和周期。
（2）若木板从$t = 0$时刻开始运动四分之一周期时，物块恰好第一次相对木板静止，求物块的初速度及上述过程中系统产生的热量。

答案： （1）振幅A=μmg/k，周期T=2π√(M/k)；（2）v₀=μ g (2m + π M)/(2√(k M))，Q=μ² m g² (4m(π - 2) + π² M)/(8k)。

5 一质量为$M$的盘子，悬挂在劲度系数为$k$的轻弹簧下，质量为$m$的砝码在离盘高$h$处自由落下掉在盘中（如图），砝码落入盘中后随即与盘子一起向下运动。问：自砝码与盘相碰至盘运动到最低位置的过程历时多少？

答案： 1. 砝码自由下落速度：由$v^2=2gh$得$v=\sqrt{2gh}$。
2. 碰撞动量守恒：$mv=(m+M)v'$，解得$v'=\frac{m\sqrt{2gh}}{m+M}$。
3. 碰撞后系统平衡位置：弹簧伸长量$x_1=\frac{(m+M)g}{k}$，初始位置相对新平衡位置位移$y_0=-\frac{mg}{k}$。
4. 简谐运动参数：角频率$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+M}}$，初始速度$v_0=v'$。
5. 相位计算：初始相位$\varphi$满足$\cos\varphi=\frac{y_0}{A}$，$\sin\varphi=-\frac{v_0}{A\omega}$，其中$A=\sqrt{y_0^2+(\frac{v_0}{\omega})^2}$。最低位置对应相位$0$，相位差$\Delta\theta=\pi-\arctan(\frac{v_0}{\omega|y_0|})$。
6. 时间：$t=\frac{\Delta\theta}{\omega}=\sqrt{\frac{m+M}{k}}\left[\pi-\arctan\left(\sqrt{\frac{2kh}{(m+M)g}}\right)\right]$。
最终结论：$\boxed{\sqrt{\dfrac{m+M}{k}}\left[\pi-\arctan\left(\sqrt{\dfrac{2kh}{(m+M)g}}\right)\right]}$