《2025年物理竞赛教程高中物理》

例7
三根长度均为$l = 2.00 m$、质量分布均匀的直杆，构成一个正三角形框架$ABC$，$C$点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可以绕转轴无摩擦地转动，杆$AB$是一根导轨（如图1）。一电动玩具汽车可以在导轨上运动，现观察到小汽车在导轨上运动，框架静止不动，试论证汽车的运动是一种什么样的运动。


 

答案： 以框架为研究对象，设汽车离AB中点O距离为x。汽车对导轨压力为mg，对转轴C的力矩大小为mgx。为平衡，汽车施水平力F，其对C的力矩与压力力矩平衡：$mgx = F · \frac{\sqrt{3}}{2}l$（正三角形高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}l$为力臂），解得$F=\frac{2mgx}{\sqrt{3}l}$。
以汽车为研究对象，水平方向受杆AB作用力$F'$，由牛顿第三定律$F'=-F=-\frac{2mg}{\sqrt{3}l}x$，即$F'=-kx$（$k=\frac{2mg}{\sqrt{3}l}$），满足简谐运动回复力条件。
简谐运动周期$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{\sqrt{3}l}{2g}}$，代入$l=2.00m$，$g=9.8m/s^2$，得$T\approx2.64s$。
汽车运动范围限于AB，振幅$A\leq\frac{l}{2}=1.00m$。
结论：汽车在导轨AB上的运动是以AB中点O为平衡位置、振幅不大于1.00m、周期为2.64s的简谐运动。