《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 3 放在水平面上的质量为 $ m $ 的物体，与水平面间的动摩擦因数为 $ \mu $，物体在水平恒力 $ F_1 $ 的作用下做匀速直线运动。现再对物体施加一大小与 $ F_1 $ 相等的恒力 $ F_2 $。
（1）若要使物体仍做匀速运动，则力 $ F_2 $ 必须满足什么条件？
（2）若要使物体仍做直线运动，且运动一定的位移 $ s $ 的过程中合外力对物体做的功最多，则 $ F_2 $ 又需满足什么条件？
  

 

答案： （1）物体原来在水平恒力$F_1$作用下匀速运动，故$F_1 = \mu mg$。施加与$F_1$大小相等的恒力$F_2$后，设$F_2$与水平方向夹角为$\theta$，竖直方向受力平衡有$N + F_2\sin\theta = mg$，摩擦力$f = \mu N = \mu(mg - F_2\sin\theta)$。水平方向合外力$F = F_1 + F_2\cos\theta - f$，代入$F_1 = F_2 = F_0$（$F_0 = \mu mg$），得$F = F_0\cos\theta + \mu F_0\sin\theta = \sqrt{1+\mu^2}F_0\sin(\theta + \varphi)$，其中$\varphi = \arctan\frac{1}{\mu}$。要物体仍匀速，需$F = 0$，即$\sin(\theta + \varphi) = 0$，则$\theta + \varphi = 180°$或$360°$，解得$\theta = 180° - \arctan\frac{1}{\mu}$或$\theta = 360° - \arctan\frac{1}{\mu}$。
（2）合外力做功$W = Fs$，位移$s$一定时，$W$最多需$F$最大。由$F = \sqrt{1+\mu^2}F_0\sin(\theta + \varphi)$，最大值为$\sqrt{1+\mu^2}F_0$，此时$\sin(\theta + \varphi) = 1$，即$\theta + \varphi = 90°$或$270°$，解得$\theta = 90° - \arctan\frac{1}{\mu}$或$\theta = 270° - \arctan\frac{1}{\mu}$。
答案
（1）力$F_2$与水平方向的夹角$\theta$满足$\theta = 180° - \arctan\frac{1}{\mu}$或$\theta = 360° - \arctan\frac{1}{\mu}$；
（2）力$F_2$与水平方向的夹角$\theta$满足$\theta = 90° - \arctan\frac{1}{\mu}$或$\theta = 270° - \arctan\frac{1}{\mu}$。