《2025年物理竞赛教程高中物理》

例6
两端开口的长为$l$的风琴管可用来测量亚音速风洞中空气的马赫数$v/u$，其中$v$是空气的流动速度，$u$是静止空气中的声速。实验发现，当风琴管固定在风洞中时与周期为$T$的基波产生共鸣；风琴管置于静止空气中时与周期为$T_{0}$的基波产生共鸣。若马赫数为$1/2$，求$T/T_{0}$。
 

答案： 设风洞中空气流速为$v$，静止空气中声速为$u$，马赫数$\frac{v}{u} = \frac{1}{2}$。
风琴管在静止空气中时，基波波长$\lambda_0$满足：$l = \frac{\lambda_0}{2} \implies \lambda_0 = 2l$。
对应周期$T_0$与波长关系为：$\lambda_0 = uT_0$。
风琴管在流动空气中时，以流动空气为参考系，风琴管以速度$v$向波源运动，根据多普勒效应，接收到的频率$f'$与原频率$f$关系为：$f' = \frac{u + v}{u}f$。
波长关系为：$\lambda' = \frac{u}{u + v}\lambda$，其中$\lambda$为流动空气中基波波长。
由于风琴管长度不变，仍满足：$l = \frac{\lambda'}{2} \implies \lambda' = 2l$。
因此：$\lambda' = \lambda_0$，即：$\frac{u}{u + v}\lambda = \lambda_0$。
将$\lambda_0 = uT_0$和$\lambda = uT$代入上式，得：$\frac{u}{u + v} · uT = uT_0$。
化简得：$\frac{T}{T_0} = \frac{u + v}{u}$。
代入马赫数$\frac{v}{u} = \frac{1}{2}$，得：$\frac{T}{T_0} = \frac{u + \frac{1}{2}u}{u} = \frac{3}{2}$。
故$\frac{T}{T_0} = \frac{3}{2}$。