《2025年物理竞赛教程高中物理》

例 2
如图 1 所示，一个表面光滑、半径为 $ R $ 的半圆柱面置于水平地面上，上面放有一条长为 $ \pi R $ 的均匀链条，链条的质量为 $ m $，其两端刚好分别与两侧的水平面相接触。此铁链中张力的最大值为多少？


 

答案： 链条在圆柱最高点张力最大。
单位长度质量：$\lambda = \frac{m}{\pi R}$。
取链条上一小段$dl$，质量$dm = \lambda dl$，沿切线方向力平衡：$dF = dm g \cos\theta = \lambda g dl \cos\theta$。
因$dl \cos\theta = dh$（高度微元），则$dF = \lambda g dh$。
对右侧半条链条积分（$dh$从$0$到$R$）：$F_m = \int_{0}^{R} \lambda g dh = \lambda g R$。
代入$\lambda$得：$F_m = \frac{m}{\pi R} · g · R = \frac{mg}{\pi}$。
答：此铁链中张力的最大值为$\frac{mg}{\pi}$。